Câu hỏi

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [-1;4] như hình vẽ bên. Số giá trị nguyên âm của tham số m để bất phương trình m ≥ f ( 2 x + 1 ) + x 2 − 4 x có nghiệm trên đoạn [-1;4] là

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [-1;4] như hình vẽ bên. Số giá trị nguyên âm của tham số m để bất phương trình $m \geq f (\frac{x}{2} + 1) + x^{2} - 4 x$ có nghiệm trên đoạn [-1;4] là

R. Robo.Ctvx35

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Điều kiện để bất phương trình m ≥ f ( 2 x + 1 ) + x 2 − 4 x có nghiệm trên đoạn [-1;4] là m ≥ [ − 1 ; 4 ] M in g ( x ) Xét hàm số g(x) = f f ( 2 x + 1 ) + x 2 − 4 x với x ∈ [-1;4] Ta có:g'(x) = 2 1 f ′ ( 2 x + 1 ) + 2 ( x − 2 ) Đặt t = ( 2 x + 1 ) Ta thấy x ∈ (2;4) ⇒ t ∈ (2;3) ⇒ f'(t) > 0 ⇒ g'(x) = 2 1 f ′ ( 2 x + 1 ) + 2 ( x − 2 ) > 0 Vớix ∈ (-1;4) ⇒ t ∈ ( 2 1 ;2) ⇒ f'(t) <0 ⇒ g'(t) <0 Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) trên đoạn [-1;4] như sau Mặt khác g(2) = f(2) + 2 2 - 4.2 = - 5 Suy ra m ≥ -5 là giá trị cần tìm. ⇒ m = {-5; -4; -3 ; -2; -1}

Điều kiện để bất phương trình $m \geq f (\frac{x}{2} + 1) + x^{2} - 4 x$ có nghiệm trên đoạn [-1;4] là

m $\geq [- 1; 4] M in g (x)$
Xét hàm số g(x) = f $f (\frac{x}{2} + 1) + x^{2} - 4 x$ với x $\in$ [-1;4]
Ta có: g'(x) = $\frac{1}{2} f^{'} (\frac{x}{2} + 1) + 2 (x - 2)$

Đặt t = $(\frac{x}{2} + 1)$
Ta thấy x $\in$ (2;4) $\Rightarrow$ t $\in$ (2;3) $\Rightarrow$ f'(t) > 0

$\Rightarrow$ g'(x) = $\frac{1}{2} f^{'} (\frac{x}{2} + 1) + 2 (x - 2) > 0$
Với x $\in$ (-1;4) $\Rightarrow$ t $\in$ ( $\frac{1}{2}$ ;2) $\Rightarrow$ f'(t) < 0 $\Rightarrow$ g'(t) < 0
Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) trên đoạn [-1;4] như sau