Cho hàm số y = x 4 − 8 m x 2 + 16 m 2 − m + 1 (với m là tham số thực) có đồ thị (C) và điểm H(0;1). Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị (C) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.

Giải thích

Tập xác định: D = R Ta có y ′ = 4 x 3 − 16 m x = 4 x ( x 2 − 4 m ) y ′ = 0 ⇔ 4 x ( x 2 − 4 m ) = 0 ⇔ [ x = 0 x 2 = 4 m ​ Đồ thị (C) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi m > 0 (1) Giả sử các điểm cực trị là A ( 0 ; 16 m 2 − m + 1 ) , B ( 2 m ​ ; 1 − m ) , C ( − 2 m ​ ; 1 − m ) Ta có: A H = ( 0 ; m − 16 m 2 ) , BC = ( − 4 m ​ ; 0 ) C H = ( 2 m ​ ; m ) , A B = ( 2 m ​ ; − 16 m 2 ) Do H(0;1) là trực tâm của tam giác ABC nên: { A H . BC = 0 C H . A B = 0 ​ ⇔ { 0. ( − 4 m ​ ) + ( m − 16 m 2 ) .0 = 0 4 m − 16 m 3 = 0 ​ ⇔ [ m = 0 m 2 = 4 1 ​ ​ ⇔ ⎣ ⎡ ​ m = 0 m = − 2 1 ​ m = 2 1 ​ ​ Kết hợp với điều kiện (1) ta có: m = 2 1 ​ Vậy giá trị m cần tìm là m = 2 1 ​