Cho hàm số: y = f ( x ) = 3 4 x 3 ​ − 2 ( 1 − sin α ) x 2 − ( 1 + cos 2 α ) x + 1 với α là tham số. Tìm các giá trị của α để hàm số luôn luôn tăng. Với giá trị nào của α thì hàm số cực đại, cực tiểu. Gọi x 1 ​ , x 2 ​ là hoành độ các điểm cực trị. Tìm α sao cho x 1 2 ​ + x 2 2 ​ = 1

Giải thích

y = f ( x ) = 3 4 x 3 ​ − 2 ( 1 − sin α ) x 2 − ( 1 + cos 2 α ) x + 1 1. y ′ = 4 x 2 − 4 ( 1 − sin α ) x − 2 cos 2 α = 2 [ 2 x 2 − 2 ( 1 − sin α ) x − cos 2 α ] y luôn tăng ⇔ y ′ ≥ 0 ∀ x ∈ R ⇔ △ ′ = ( 1 − sin α ) 2 + 2 cos 2 α ≤ 0 ⇔ { sin α = 1 cos α = 0 ​ ⇔ α = 2 π ​ + 2 kπ , k ∈ Z 2.Hàm số cực đại, cực tiểu ⇔ y ′ có 2 nghiệm phân biệt ⇔ △ ′ = ( 1 − sin α ) 2 + 2 cos 2 α > 0 ⇔ sin α  = 1 ha y cos α  = 0 ⇔ α  = 2 π ​ + k 2 π ( k ∈ Z ) 3. x 1 2 ​ + x 2 2 ​ = 1 ⇔ { y ′ c o ˊ hai n g hi ệ m p h a ^ n bi ệ t ( x 1 ​ + x 2 ​ ) 2 − 2 x 1 ​ x 2 ​ = 1 ​ ⇔ { α  = 2 π ​ + k 2 π ( 1 − sin α ) 2 + cos 2 α = 1 ​ ⇔ { α  = 2 π ​ + k 2 π sin α = 2 1 ​ ​ ⇔ α = 6 π ​ + k 2 π hay α = 6 5 π ​ + k 2 π ( k ∈ Z )