Square root
VBT
Calculator
magnet

Câu hỏi

Cho hàm số y = f ( x ) và f ( x ) > 0 , ∀ x ∈ R . Biết hàm số y = f ′ ( x ) có bảng biên thiên như hình vẽ và f ( 2 1 ​ ) = 16 137 ​ Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ [ − 2020 ; 2020 ] để hàm số g ( x ) = e − x 2 + 4 m x − 5 . f ( x ) đồng biến trên ( − 1 ; 2 1 ​ )

Cho hàm số  và . Biết hàm số  có bảng biên thiên như hình vẽ và 

Có bao nhiêu giá trị nguyên của  để hàm số  đồng biến trên 
 

  1. 2019

  2. 2020

  3. 4040

  4. 4041 

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có g ′ ( x ) = ( − 2 x + 4 m ) e − x 2 + 4 m x − 5 . f ( x ) + e − x 2 + 4 m x − 5 . f ′ ( x ) ⇔ g ′ ( x ) = [ ( − 2 x + 4 m ) . f ( x ) + . f ′ ( x ) ] e − x 2 + 4 m x − 5 Yêu cầu bài toán ⇔ g ′ ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ ( − 1 ; 2 1 ​ ) và g ′ ( x ) = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc ( − 1 ; 2 1 ​ ) ⇔ ( − 2 x + 4 m ) . f ( x ) + . f ′ ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ ( − 1 ; 2 1 ​ ) , (vì e − x 2 + 4 m x − 5 > 0 ) ⇔ − 2 x + 4 m ≥ − f ( x ) f ′ ( x ) ​ , ∀ x ∈ ( − 1 ; 2 1 ​ ) , (vì f ( x ) > 0 , ∀ x ∈ R ) ⇔ 4 m ≥ 2 x − f ( x ) f ′ ( x ) ​ , ∀ x ∈ ( − 1 ; 2 1 ​ ) (*) Xét h ( x ) = 2 x − f ( x ) f ′ ( x ) ​ , ∀ x ∈ ( − 1 ; 2 1 ​ ) . Ta có h ′ ( x ) = 2 − f 2 ( x ) f ′′ ( x ) . f ( x ) − [ f ′ ( x ) ] 2 ​ Mà { f ′′ ( x ) < 0 f ( x ) > 0 ​ , ∀ x ∈ ( − 1 ; 2 1 ​ ) ⇒ f 2 ( x ) f ′′ ( x ) . f ( x ) − [ f ′ ( x ) ] 2 ​ < 0 , ∀ x ∈ ( − 1 ; 2 1 ​ ) Từ đó suy ra h ′ ( x ) > 0 , ∀ x ∈ ( − 1 ; 2 1 ​ ) . Vậy hàm số h ( x ) đồng biến trên ( − 1 ; 2 1 ​ ) Bảng biến thiên: Vậy điều kiện (*) ⇔ 4 m ≥ h ( 2 1 ​ ) ⇔ 4 m ≥ 2. ( 2 1 ​ ) − f ( 2 1 ​ ) f ′ ( 2 1 ​ ) ​ ⇔ 4 m ≥ 137 225 ​ ⇔ m ≥ 548 225 ​ Lại có { m ∈ Z m ∈ [ − 2020 ; 2020 ] ​ ⇒ m ∈ { 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 2020 } Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ta có 

Yêu cầu bài toán  và  chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc 

, (vì )

, (vì ,)

(*)

Xét . Ta có 

Mà 

Từ đó suy ra . Vậy hàm số  đồng biến trên 

Bảng biến thiên:

Vậy điều kiện (*)

Lại có 

Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán
 

1

Câu hỏi tương tự

Cho số phức z thỏa mãn ∣ z ∣ = 2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức w = z + i 3 + i + z ​ là một đường tròn có bán kính bằng

0

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG