Câu hỏi

Cho hàm số y = f ( x ) và f ( x ) > 0 , ∀ x ∈ R . Biết hàm số y = f ′ ( x ) có bảng biên thiên như hình vẽ và f ( 2 1 ) = 16 137 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ [ − 2020 ; 2020 ] để hàm số g ( x ) = e − x 2 + 4 m x − 5 . f ( x ) đồng biến trên ( − 1 ; 2 1 )

Cho hàm số $y = f (x)$ và $f (x) > 0,$ $\forall x \in R$ . Biết hàm số $y = f^{'} (x)$ có bảng biên thiên như hình vẽ và $f (\frac{1}{2}) = \frac{137}{16}$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in [- 2020; 2020]$ để hàm số $g (x) = e^{- x^{2} + 4 m x - 5} . f (x)$ đồng biến trên $(- 1; \frac{1}{2})$

2019
2020
4040
4041

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có g ′ ( x ) = ( − 2 x + 4 m ) e − x 2 + 4 m x − 5 . f ( x ) + e − x 2 + 4 m x − 5 . f ′ ( x ) ⇔ g ′ ( x ) = [ ( − 2 x + 4 m ) . f ( x ) + . f ′ ( x ) ] e − x 2 + 4 m x − 5 Yêu cầu bài toán ⇔ g ′ ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ ( − 1 ; 2 1 ) và g ′ ( x ) = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc ( − 1 ; 2 1 ) ⇔ ( − 2 x + 4 m ) . f ( x ) + . f ′ ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ ( − 1 ; 2 1 ) , (vì e − x 2 + 4 m x − 5 > 0 ) ⇔ − 2 x + 4 m ≥ − f ( x ) f ′ ( x ) , ∀ x ∈ ( − 1 ; 2 1 ) , (vì f ( x ) > 0 , ∀ x ∈ R ) ⇔ 4 m ≥ 2 x − f ( x ) f ′ ( x ) , ∀ x ∈ ( − 1 ; 2 1 ) () Xét h ( x ) = 2 x − f ( x ) f ′ ( x ) , ∀ x ∈ ( − 1 ; 2 1 ) . Ta có h ′ ( x ) = 2 − f 2 ( x ) f ′′ ( x ) . f ( x ) − [ f ′ ( x ) ] 2 Mà { f ′′ ( x ) < 0 f ( x ) > 0 , ∀ x ∈ ( − 1 ; 2 1 ) ⇒ f 2 ( x ) f ′′ ( x ) . f ( x ) − [ f ′ ( x ) ] 2 < 0 , ∀ x ∈ ( − 1 ; 2 1 ) Từ đó suy ra h ′ ( x ) > 0 , ∀ x ∈ ( − 1 ; 2 1 ) . Vậy hàm số h ( x ) đồng biến trên ( − 1 ; 2 1 ) Bảng biến thiên: Vậy điều kiện () ⇔ 4 m ≥ h ( 2 1 ) ⇔ 4 m ≥ 2. ( 2 1 ) − f ( 2 1 ) f ′ ( 2 1 ) ⇔ 4 m ≥ 137 225 ⇔ m ≥ 548 225 Lại có { m ∈ Z m ∈ [ − 2020 ; 2020 ] ⇒ m ∈ { 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 2020 } Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ta có $g^{'} (x) = (- 2 x + 4 m) e^{- x^{2} + 4 m x - 5} . f (x) + e^{- x^{2} + 4 m x - 5} . f^{'} (x)$

$\Leftrightarrow$ $g^{'} (x) = [(- 2 x + 4 m) . f (x) + . f^{'} (x)] e^{- x^{2} + 4 m x - 5}$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow g^{'} (x) \geq 0,$ $\forall x \in (- 1; \frac{1}{2})$ và $g^{'} (x) = 0$ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc $(- 1; \frac{1}{2})$

$\Leftrightarrow (- 2 x + 4 m) . f (x) + . f^{'} (x) \geq 0$ , $\forall x \in (- 1; \frac{1}{2})$ , (vì $e^{- x^{2} + 4 m x - 5}$ $> 0$ )

$\Leftrightarrow - 2 x + 4 m \geq - \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )},$ $\forall x \in (- 1; \frac{1}{2})$ , (vì $f (x) > 0$ , $\forall x \in R$ )

$\Leftrightarrow 4 m \geq 2 x - \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )},$ $\forall x \in (- 1; \frac{1}{2})$ (*)

Xét $h (x) = 2 x - \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )},$ $\forall x \in (- 1; \frac{1}{2})$ . Ta có $h^{'} (x) = 2 - \frac{f ^{''} ( x ) . f ( x ) - [ f ^{'} ( x ) ] ^{2}}{f ^{2} ( x )}$

Mà ${f^{''} (x) < 0 f (x) > 0,$ $\forall x \in (- 1; \frac{1}{2})$ $\Rightarrow \frac{f ^{''} ( x ) . f ( x ) - [ f ^{'} ( x ) ] ^{2}}{f ^{2} ( x )} < 0,$ $\forall x \in (- 1; \frac{1}{2})$

Từ đó suy ra $h^{'} (x) > 0,$ $\forall x \in (- 1; \frac{1}{2})$ . Vậy hàm số $h (x)$ đồng biến trên $(- 1; \frac{1}{2})$

Bảng biến thiên:

Vậy điều kiện (*)

$\Leftrightarrow 4 m \geq h (\frac{1}{2}) \Leftrightarrow 4 m \geq 2. (\frac{1}{2}) - \frac{f ^{'} ( \frac{1}{2} )}{f ( \frac{1}{2} )} \Leftrightarrow 4 m \geq \frac{225}{137} \Leftrightarrow m \geq \frac{225}{548}$

Lại có ${m \in Z m \in [- 2020; 2020] \Rightarrow m \in {1; 2; 3; ...; 2020}$

Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu hỏi tương tự

Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức sin 2 2 B = 2 sin A sin A − sin C . Chứng minh tam giác ABC vuông.

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn ∫ 0 1 [ f ′ ( x ) ] 2 d x = ∫ 0 1 ( x + 1 ) e x f ( x ) d x = 4 e 2 − 1 v a ˋ f ( 1 ) = 0 Tính ∫ 0 1 f ( x ) d x

Xác nhận câu trả lời

Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình a ln 2 x + b ln x + 5 = 0 có hai nghệm phân biệt x 1 , x 2 và phương trình 5 lo g 2 x + b lo g x + a = 0 có hai nghiệm phân biệt x 3 , x 4 thỏ...

Xác nhận câu trả lời

Gọi n, Mlần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 1 x − x + 2 trên đoạn [ − 1 ; 34 ] . Tính tổng S = 3 m + M

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ Trong đoạn [ − 20 ; 20 ] , có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = ∣ ∣ 10 f ( x − m ) − 3 11 m 2 + 3 37 m ∣ ∣ có 3 điểm cực trị?

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện