Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( x ) + f ′ ( x ) = e − x , ∀ x ∈ R và f ( 0 ) = 2. Tất cả các nguyên hàm của f ( x ) e 2 x là:

Giải thích

Câu hỏi này thuộc dạng bài:Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần. Ta có: f ( x ) + f ′ ( x ) = e − x . ⇔ f ( x ) e x + f ′ ( x ) e x = 1 ⇔ ( f ( x ) e x ) ′ = 1 ⇔ f ( x ) e x = x + C 1 ​ . Vì f ( 0 ) = 2 ⇒ C 1 ​ = 2 ⇒ f ( x ) e 2 x = ( x + 2 ) e x ⇒ ∫ f ( x ) e 2 x d x = ∫ ( x + 2 ) e x d x Đặt: { u = x + 2 d v = e x d x ​ ⇒ { d u = d x v = e x ​ . ⇒ ∫ f ( x ) e 2 x d x = ∫ ( x + 2 ) e x d x = ( x + 2 ) e x − ∫ e x d x = ( x + 2 ) e x − e x + C = ( x + 1 ) e x + C .