Cho hàm số f ( x ) = x 3 − 3 x 2 . Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của mđể đồ thị hàm số g ( x ) = f ( ∣ x ∣ ) + m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.

Giải thích

Xét hàm số f ( x ) = x 3 − 3 x 2 . Ta có đồ thị hàm số y = f ( x ) như sau: Như ta đã biết: để vẽ đồ thị hàm số y = f ( ∣ x ∣ ) từ đồ thị y = f ( x ) ta thực hiện: Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị y = f ( x ) gồm các điểm bên phải và các điểm nằm trên trục Oy; bỏ phần đồ thị bên trái trục Oy.Ta được phần đồ thị P 1 ​ Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị P 1 ​ qua trục Oy ta được phần đồ thị P 2 ​ Khi đó: Đồ thị y = f ( ∣ x ∣ ) bao gồm đồ thị P 1 ​ và P 2 ​ . Từ đó ta có đồ thị hàm số y = f ( ∣ x ∣ ) = ∣ x ∣ 3 − 3 ∣ x ∣ 2 như sau: Để đồ thị hàm số g ( x ) = f ( ∣ x ∣ ) + m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phương trình g ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Do đó phương trình f ( ∣ x ∣ ) = − m có 4 nghiệm phân biệt hay đường thẳng y = − m cắt đồ thị hàm số y = f ( ∣ x ∣ ) = ∣ x ∣ 3 − 3 ∣ x ∣ 2 tại 4 điểm phân biệt. Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( ∣ x ∣ ) suy ra bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi − 4 < − m < 0 ⇔ 0 < m < 4 . Kết hợp yêu cầu đề bài m ∈ Z , do đó m ∈ { 1 ; 2 ; 3 } . Vậy tổng các giá trị nguyên của mthỏa mãn là: 1 + 2 + 3 = 6 .