Cho hàm số f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 . Tồn tại bao nhiêu số nguyên dươngm để bất phương trình f ( sin 2 x + 1 ) ≥ m có nghiệm?

Giải thích

f ′ ( x ) = 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔ [ x = 0 x = 2 ​ Đặt g ( x ) = f ( sin 2 x + 1 ) g ′ ( x ) = 2 cos 2 x . f ′ ( sin 2 x + 1 ) = 0 ⇒ ⎣ ⎡ ​ cos 2 x = 0 sin 2 x + 1 = 0 sin 2 x + 1 = 2 ​ ⇔ ⎣ ⎡ ​ cos 2 x = 0 sin 2 x = − 1 sin 2 x = 1 ​ ⇔ ⎣ ⎡ ​ 2 x = 2 π ​ + kπ 2 x = − 2 π ​ + k 2 π 2 x = 2 π ​ + k 2 π ​ ⇔ ⎣ ⎡ ​ x = 4 π ​ + k 2 π ​ x = − 4 π ​ + kπ x = 4 π ​ + kπ ​ Với x = 4 π ​ + k 2 π ​ : sin 2 x + 1 = 2 ⇒ f ( 2 ) = − 2 Với x = − 4 π ​ + kπ : sin 2 x + 1 = 0 ⇒ f ( 0 ) = 2 Với x = 4 π ​ + kπ : sin 2 x + 1 = 2 ⇒ f ( 2 ) = − 2 suy ra: 2 ≥ m nên m ∈ { 1 ; 2 } (chọn A)