Cho hàm số y = x + 1 2 x + 1 ​ . Tìm k để đường thẳng y=kx+2k+1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.

Giải thích

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d: y=kx+2 k+1 và (C) là: x + 1 2 x + 1 ​ = kx + 2 k + 1 ⇔ kx 2 + ( 3 k − 1 ) x + 2 k = 0 (*) (Vì x=-1 không là nghiệm) d cắt (C) tại hai điểm ⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm ⇔ { k  = 0 Δ = k 2 − 6 k + 1 > 0 ​ ⇔ { k  = 0 k < 3 − 2 2 ​ ∨ k > 3 + 2 2 ​ ​ ( I ) Khi đó, hoành độ x A ​ , x B ​ của A và B là nghiệm của phương trình (*) nên áp dụng định lý Viét ta có: x A ​ + x B ​ = − a b ​ = k 1 − 3 k ​ . A và B thuộc d nên y A ​ = kx A ​ + 2 k + 1 và y B ​ = kx B ​ + 2 k + 1 . Ta có: Khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau ⇔ ∣ y A ​ ∣ = ∣ y B ​ ∣ ⇔ ∣ kx A ​ + 2 k + 1 ∣ = ∣ kx B ​ + 2 k + 1 ∣ ⇔ [ kx A ​ + 2 k + 1 = kx B ​ + 2 k + 1 kx A ​ + 2 k + 1 = − ( kx B ​ + 2 k + 1 ) ​ ⇔ [ x A ​ = x B ​ ( Loạiv ı ˋ ( ∗ ) c o ˊ 2 nghiệm) k ( x A ​ + x B ​ ) + 4 k + 2 = 0 ​ ​ ⇔ k ( k 1 − 3 k ​ ) + 4 k + 2 = 0 ⇔ k = − 3 (Thỏa (I)).