Cho hàm số y = f ( x ) = x 4 + 2 mx 2 + m , m là tham số. Tìm tát cả các giá trị của m để hàm số f(x)>0 với mọi x. Với các giá trị m tìm được ở trên, chứng minh rằng hàm số: F ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + f ′′′ ( x ) + f ( 4 ) ( x ) > 0 với mọi x. ( f ( 4 ) ( x ) là kí hiệu đạo hàm cấp 4 của hàm số f(x) tại điểm x).

Giải thích

Tìm m để f ( x ) = x 4 + 2 m x 2 + m > 0 , ∀ x - Cần: f ( x ) > 0∀ x ⇒ f ( 0 ) > 0 ⇒ m > 0 - Đủ: m > 0 ⇒ f ( x ) = ≥ 0 x 4 + 2 mx 2 ​ ​ + > 0 m > 0 ​ , ∀ x Đáp số m>0 Chứng minh khi m>0 thì F ( x ) > 0∀ x : Tính đạo hàm từ cấp 1 đến cấp 4 của f(x), ta được F ( x ) = x 4 + 4 x 3 + ( 2 m + 12 ) x 2 + ( 24 + 4 m ) x + 5 m + 24 = ( x 2 + 2 x ) 2 + m ( 2 x 2 + 4 x + 5 ) + 8 ( x 2 + 3 x + 3 ) > 0∀ x , ≥ 0   > 0   > 0 ∀ m > 0. ​