Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R \ { − 1 ; 0 } thỏa mãn điều kiện: f ( 1 ) = − 2 ln 2 và x . ( x + 1 ) . f ′ ( x ) + f ( x ) = x 2 + x . Biết f ( 2 ) = a + b . ln 3 ( a ; b ∈ Q ) . Giá trị 2 ( a 2 + b 2 ) là:

Giải thích

Câu hỏi này thuộc dạng bài: Nguyên hàm hàm ẩn. Chia cả hai vế của biểu thức x . ( x + 1 ) . f ′ ( x ) + f ( x ) = x 2 + x cho ( x + 1 ) 2 ta có: x + 1 x ​ . f ′ ( x ) + ( x + 1 ) 2 1 ​ f ( x ) = x + 1 x ​ ⇔ [ x + 1 x ​ . f ( x ) ] ′ = x + 1 x ​ . Vậy: x + 1 x ​ . f ( x ) = ∫ [ x + 1 x ​ . f ( x ) ] ′ d x = ∫ x + 1 x ​ d x = ∫ ( 1 − x + 1 1 ​ ) d x = x − ln ∣ x + 1 ∣ + C . . Do f ( 1 ) = − 2 ln 2 nên ta có 2 1 ​ . f ( 1 ) = 1 − ln 2 + C ⇔ − ln 2 = 1 − ln 2 + C ⇔ C = − 1. Khi đó f ( x ) = x x + 1 ​ ( x − ln ∣ x + 1 ∣ − 1 ) . Vậy ta có: f ( 2 ) = 2 3 ​ ( 2 − ln 3 − 1 ) = 2 3 ​ ( 1 − ln 3 ) = 2 3 ​ − 2 3 ​ ln 3. ⇒ a = 2 3 ​ , + 3 m u + 3 m u b = − 2 3 ​ . Suy ra 2 ( a 2 + b 2 ) = 2 [ ( 2 3 ​ ) 2 + ( − 2 3 ​ ) 2 ] = 9.