Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ sau Có bao nhiêu giá trị của m ∈ [ 0 ; 6 ] ; 2 m ∈ Z để hàm số f ( x 2 − 2 ∣ x − 1 ∣ − 2 x + m ) có đúng 9 điểm cực trị?

Giải thích

Chọn D. Cách 1: g ( x ) = f ( ∣ x − 1 ∣ 2 − 2 ∣ x − 1 ∣ + m − 1 ) Đặt t = x − 1 ⇒ g ( t ) = f ( ∣ t ∣ 2 − 2 ∣ t ∣ + m − 1 ) Xét g 1 ​ ( t ) = f ( t 2 − 2 t + m − 1 ) ⇒ g 1 ′ ​ ( t ) = f ( t 2 − 2 t + m − 1 ) ⇒ g 1 ′ ​ ( t ) = 0 ⇔ [ t = 1 f ′ ( t 2 − 2 t + m − 1 ) = 0 ​ g(x) có 9 cực trị khi g(t) có 9 cực trị. ⇔ g 1 ​ ( t ) có 4 cực trị dương. g 1 ′ ​ ( t ) = 0 ⇔ ⎣ ⎡ ​ t = 1 t 2 − 2 t + m − 1 = 1 t 2 − 2 t + m − 1 = 0 t 2 − 2 t + m − 1 = 2 t 2 − 2 t + m − 1 = 3 ​ g 1 ​ ( t ) có 4 cực trị dương khi: ⎣ ⎡ ​ ⎩ ⎨ ⎧ ​ m − 2 ≥ 1 0 < m − 3 < 1 m − 4 ≤ 0 ​ m − 2 ≤ 0 ​ ⇔ [ 3 < m < 4 m ≤ 2 ​ Mà m ∈ [ 0 ; 6 ] ; 2 m ∈ Z ⇒ m = { 0 , 2 1 ​ , 1 , 2 3 ​ , 2 , 2 7 ​ } Vậy có 6giá trị của m thỏa mãn đề bài. Cách 2: Dùng ghép trục Đặt t ( x ) = x 2 − 2 ∣ x − 1 ∣ − 2 x + m ⇒ t ( x ) = { x 2 + m − 2 khi x < 1 x 2 − 4 x + 2 + m khi x ≥ 1 ​ ⇒ t ′ ( x ) = { 2 x khi x < 1 2 x − 4 khi x > 1 ​ , t'(x) không xác định tại x=1 t ′ ( x ) = 0 ⇔ [ x = 0 x = 2 ​ Ta có bảng biến thiên sau: Ta xét các trường hợp sau, sử dụng phương pháp ghép trục: TH1: m − 1 < 1 ⇔ m < 2 Ta có bảng biến thiên sau: => Hàm số có 9 cực trị => thỏa mãn TH2: m = 2 Ta có bảng biến thiên sau: => Hàm số có 9 cực trị => thỏa mãn TH3: 2 < m < 3 ⇔ 0 < m − 2 < 1 < m − 1 < 2 Ta có bảng biến thiên sau: => Hàm số có 11 cực trị => không thỏa mãn TH4: m = 3 Ta có bảng biến thiên sau: => Hàm số có 7 cực trị => không thỏa mãn TH5: 3 < m < 4 ⇔ 1 < m − 2 < 2 < m − 1 < 3 Ta có bảng biến thiên sau: => Hàm số có 11 cực trị => không thỏa mãn TH6: m = 4 Ta có bảng biến thiên sau: => Hàm số có 5 cực trị => không thỏa mãn TH7: m > 4 , m < 5 ⇔ 2 < m − 2 < 3 < m − 1 Ta có bảng biến thiên sau: => Hàm số có 9 cực trị => thỏa mãn TH8: m = 5. Tương tự => Không thỏa mãn TH9: m > 5 ⇔ 3 < m − 2 < m − 1. Tương tự => Không thỏa mãn Kết hợp các trường hợp ta được: ⎩ ⎨ ⎧ ​ m < 2 m = 2 4 < m < 5 ​ ⇔ { m ≤ 2 4 < m < 5 ​ Mà 2 m ∈ Z và 0 ≤ m ≤ 6 ⇒ m = { 0 , 2 1 ​ , 1 , 2 3 ​ , 2 , 2 9 ​ } Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn.