Câu hỏi

Cho hàm số f ( x ) = 3 x − 4 + ( x + 1 ) . 2 7 − x − 6 x + 3 . Giả sử m 0 = b a ( a ; b ∈ R , b a là phân số tối giản) là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m sao cho phương trình f ( 7 − 4 6 x − 9 x 2 ) + 2 m − 1 = 0 có số nghiệm nhiều nhất. Tính giá trị của biểu thức P = a + b 2

Cho hàm số $f (x) = 3^{x - 4} + (x + 1) . 2^{7 - x} - 6 x + 3$ . Giả sử $m_{0} = \frac{a}{b} (a; b \in R, \frac{a}{b}$ là phân số tối giản) là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m sao cho phương trình $f (7 - 4 6 x - 9 x^{2}) + 2 m - 1 = 0$ có số nghiệm nhiều nhất. Tính giá trị của biểu thức $P = a + b^{2}$

P = 11
P =7
P = -1
P = 9

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Đặt t = 7 − 4 6 x − 9 x 2 (1) thì f ( t ) = 1 − 2 m (2) . t ′ = 2 6 x − 9 x 2 − 4 ( 6 − 18 x ) ⇒ t ′ = 0 ⇔ x = 3 1 Từ BBT suy ra nếu t ∈ ( 3 ; 7 ] thì phương trình (1) có 2 nghiệm x. Xét hàm số f ( x ) = 3 x − 4 + ( x + 1 ) . 2 7 − x − 6 x + 3 f ′ ( x ) = 3 x − 4 ln 3 + 2 7 − x − ( x + 1 ) . 2 7 − x ln 2 − 6 f ′′ ( x ) = 3 x − 4 ln 2 3 + ( 2 7 − x ln 2 ) [ ( x + 1 ) ln 2 − 2 ] > 0 , ∀ x ∈ ( 3 ; 7 ] Do đó hàm số f ′ ( x ) đồng biến trên ( 3 ; 7 ) . Mặt khác, f ′ ( 6 ) . f ′ ( 7 ) < 0 nên phương trình f ′ ( x ) = 0 có một nghiệm x = a ∈ ( 6 ; 7 ) . Vậy, phương trình f ( t ) = 1 − 2 m có nhiều nghiệm nhất khi f ( a ) < 1 − 2 m ≤ − 4 ⇔ 2 5 ≤ m < 2 1 − f ( a ) Kết luận, GTNN của m là 2 5 ⇒ a = 5 ; b = 2

Đặt $t = 7 - 4 6 x - 9 x^{2}$ (1) thì $f (t) = 1 - 2 m$ (2) .

$t^{'} = \frac{- 4 ( 6 - 18 x )}{2 6 x - 9 x ^{2}} \Rightarrow t^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$

Từ BBT suy ra nếu $t \in (3; 7]$ thì phương trình (1) có 2 nghiệm x.

Xét hàm số $f (x) = 3^{x - 4} + (x + 1) . 2^{7 - x} - 6 x + 3$

$f^{'} (x) = 3^{x - 4} ln 3 + 2^{7 - x} - (x + 1) . 2^{7 - x} ln 2 - 6 f^{''} (x) = 3^{x - 4} ln^{2} 3 + (2^{7 - x} ln 2) [(x + 1) ln 2 - 2] > 0, \forall x \in (3; 7]$

Do đó hàm số $f^{'} (x)$ đồng biến trên $(3; 7)$ . Mặt khác, $f^{'} (6) . f^{'} (7) < 0$ nên phương trình $f^{'} (x) = 0$ có một nghiệm $x = a \in (6; 7)$ .