Câu hỏi

Cho hàm số f(x)= { x 2 − 1 khi x ≥ 2 x 2 − 2 x + 3 khi x < 2 . Tính tích phân ∫ 1 2 π f(2sinx+1)dx bằng

Cho hàm số f(x)= ${x^{2} - 1 khi x \geq 2 x^{2} - 2 x + 3 khi x < 2$ . Tính tích phân $\int_{1}^{\frac{π}{2}}$ f(2sinx+1)dx bằng

$\frac{23}{3}$
$\frac{23}{6}$
$\frac{17}{6}$
$\frac{17}{3}$

R. Robo.Ctvx31

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có Đặt t=2sinx+1 ⇒ dt=2cosxdx. Đổi cận x=0 ⇒ t=1, x= 2 π ⇒ t=3 Vậy ∫ 1 2 π f(2sinx+1)cosxdx= ∫ 1 3 f(t) 2 1 dt= 2 1 ∫ 1 3 f(x)dx Mặt khác ta có,f(x)= { x 2 − 1 khi x ≥ 2 x 2 − 2 x + 3 khi x < 2 nên 2 1 ∫ 1 3 f(x)dx= 2 1 [ ∫ 1 2 ( x 2 − 2 x + 3 ) dx+ ∫ 2 3 ( x 2 − 1 ) dx]= 6 23

Ta có

Đặt t=2sinx+1 $\Rightarrow$ dt=2cosxdx. Đổi cận x=0 $\Rightarrow$ t=1, x= $\frac{π}{2}$ $\Rightarrow$ t=3

Vậy $\int_{1}^{\frac{π}{2}}$ f(2sinx+1)cosxdx= $\int_{1}^{3}$ f(t) $\frac{1}{2}$ dt= $\frac{1}{2}$ $\int_{1}^{3}$ f(x)dx

Mặt khác ta có, f(x)= ${x^{2} - 1 khi x \geq 2 x^{2} - 2 x + 3 khi x < 2$ nên $\frac{1}{2}$ $\int_{1}^{3}$ f(x)dx= $\frac{1}{2}$ [ $\int_{1}^{2}$ $(x^{2} - 2 x + 3)$ dx+ $\int_{2}^{3}$ $(x^{2} - 1)$ dx]= $\frac{23}{6}$

Câu hỏi tương tự

Tính tích phân

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số y= x có đồ thị (C) và điểm M thuộc (C)có hoành độ dương. Gọi S 1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và đường thẳng đi qua Mvà vuông góc với trục hoành; S 2 là diện t...

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f(x) -1 ≤ x ≤ 4 có đồ thị các đoạn thẳng như hình bên. Tích phân I= ∫ − 1 4 f(x)dx bằng

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số bậc bốn y= x 4 − 4 x 2 + 1 và parabol y= x 2 − k với k ∈ Rcó đồ thị như hình bên. Gọi S 1 , S 2 , S 3 lần lượt là diện tích của phần hình phẳng được tô đậm tương ứng trong hình vẽ. ...

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f(x)= a x 4 − 2 x 2 + 2 '; g(x)= b x 3 + c x 2 + 2 x ccó đồ thị như hình vẽ bên: Gọi S 1 , S 2 là diện tích các hình phẳng gạch sọc trong hình vẽ, khi S 1 = 480 557 thì S 2 bằn...

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f(x)= { x 2 − 1 khi x ≥ 2 x 2 − 2 x + 3 khi x &lt; 2 ​ . Tính tích phân ∫ 1 2 π ​ ​ f(2sinx+1)dx bằng

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Cho hàm số f(x)= { x 2 − 1 khi x ≥ 2 x 2 − 2 x + 3 khi x < 2 . Tính tích phân ∫ 1 2 π f(2sinx+1)dx bằng