Câu hỏi

Cho hàm số f(x) liên tục và có giá trị dương trên R , thỏa mãnf(x)+2f ( x 1 ) =xg(x) với ∀ x ∈ ( 0 ; + ∞ ) . Biết ∫ e 1 e f'(x)lnxdx=18 và (f(e)+f e 1 ))=5.Giá trị của tích phân I= ∫ e 1 e g(x)dxtương ứng bằng

Cho hàm số f(x) liên tục và có giá trị dương trên R , thỏa mãnf(x)+2f $(\frac{1}{x})$ =xg(x) với $\forall x \in (0; + \infty)$ . Biết $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ f'(x)lnxdx=18 và (f(e)+f $\frac{1}{e}$ ))=5. Giá trị của tích phân I= $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ g(x)dx tương ứng bằng

-13
-39
18
-6

R. Robo.Ctvx31

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Áp dụng công thức: I= ∫ a 1 a x f ( x ) d x = ∫ a 1 a x f ( x 1 ) d x Từ giả thiết:f(x)+2f ( x 1 ) =xg(x) ⇒ x f ( x ) +2 x f ( x 1 ) =g(x) ⇒ ∫ e 1 e ( x f ( x ) +2 x f ( x 1 ) )dx= ∫ e 1 e g(x)dx ⇔ ∫ e 1 e x f ( x ) dx+2 ∫ e 1 e x f ( x 1 ) dx= ∫ e 1 e g(x)dx=3 ∫ e 1 e x f ( x ) dx ⇒ I= ∫ e 1 e g(x)dx=3 ∫ e 1 e x f ( x ) dx Với tích phân I= I= ∫ a 1 a x f ( x ) ; ta đặt t= x 1 ⇒ dt= x 2 − d x ; đổi cận { x = a 1 ⇒ t = a x = a ⇒ t = a 1 Suy ra: ∫ e 1 e f'(x).lnxdx=18. Đặt { u = ln x d v = f ′ ( x ) d x ⇒ { d u = x d x v = f ( x ) Suy ra: 18= ∫ e 1 e f'(x).lnxdx=f'(x).lnx ∣ ∣ e 1 e - ∫ e 1 e g(x)dx=3 ∫ e 1 e x f ( x ) d x =f(e)+f e 1 )- ∫ e 1 e x f ( x ) d x =5- ∫ e 1 e x f ( x ) d x ⇔ ∫ e 1 e x f ( x ) d x =-13. Vậy I= ∫ e 1 e g(x)dx=3 ∫ e 1 e x f ( x ) d x =-39

Áp dụng công thức: I= $\int_{\frac{1}{a}}^{a}$ $\frac{f ( x ) d x}{x}$ = $\int_{\frac{1}{a}}^{a}$ $\frac{f ( \frac{1}{x} ) d x}{x}$

Từ giả thiết: f(x)+2f $(\frac{1}{x})$ =xg(x) $\Rightarrow$ $\frac{f ( x )}{x}$ +2 $\frac{f ( \frac{1}{x} )}{x}$ =g(x)

$\Rightarrow$ $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ ( $\frac{f ( x )}{x}$ +2 $\frac{f ( \frac{1}{x} )}{x}$ )dx= $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ g(x)dx

$\Leftrightarrow$ $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ $\frac{f ( x )}{x}$ dx+2 $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ $\frac{f ( \frac{1}{x} )}{x}$ dx= $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ g(x)dx=3 $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ $\frac{f ( x )}{x}$ dx $\Rightarrow$ I= $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ g(x)dx=3 $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ $\frac{f ( x )}{x}$ dx

Với tích phân I= I= $\int_{\frac{1}{a}}^{a}$ $\frac{f ( x )}{x}$ ; ta đặt t= $\frac{1}{x}$ $\Rightarrow$ dt= $\frac{- d x}{x ^{2}}$ ; đổi cận ${x = \frac{1}{a} \Rightarrow t = a x = a \Rightarrow t = \frac{1}{a}$

Suy ra: $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ f'(x).lnxdx=18. Đặt ${u = ln x d v = f^{'} (x) d x \Rightarrow {d u = \frac{d x}{x} v = f (x)$

Suy ra: 18= $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ f'(x).lnxdx=f'(x).lnx $∣ ∣ \frac{1}{e} e$ - $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ g(x)dx=3 $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ $\frac{f ( x ) d x}{x}$ =f(e)+f $\frac{1}{e}$ )- $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ $\frac{f ( x ) d x}{x}$ =5- $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ $\frac{f ( x ) d x}{x}$

$\Leftrightarrow$ $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ $\frac{f ( x ) d x}{x}$ =-13. Vậy I= $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ g(x)dx=3 $\int_{\frac{1}{e}}^{e}$ $\frac{f ( x ) d x}{x}$ =-39

Câu hỏi tương tự

Cho hàm số f(x) -1 ≤ x ≤ 4 có đồ thị các đoạn thẳng như hình bên. Tích phân I= ∫ − 1 4 f(x)dx bằng

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn x- f 3 ( x ) − f ( x ) + 3 = 0 . Tính ∫ − 1 7 xf'(x)dx

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f(x) xác định trên R\{-1;1}thỏa mãn f'(x)= x 2 − 1 1 ; f(-3)+f(3)=0 và f(- 2 1 )+f( 2 1 )=2. . Tính giá trị biểu thức f(0)+f(4)

Xác nhận câu trả lời

Tính diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị ( C ) : y = x 3 và đường thẳng (d): y=x.

Xác nhận câu trả lời

Kí hiệu là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= sin 4 x + cos 4 x − 4 3 , trục tung, trục hoành và đường thẳng x= 12 π Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trụ...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG