Câu hỏi

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(x)= 4 x . f ( x 2 ) + 3 f ( 1 − x ) = 1 − x 2 . Tính ∫ 0 1 f(x)dx

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(x)= $4 x . f (x^{2}) + 3 f (1 - x) = 1 - x^{2}$ . Tính $\int_{0}^{1}$ f(x)dx

$\frac{π}{4}$
$\frac{π}{6}$
$\frac{π}{20}$
$\frac{π}{16}$

R. Robo.Ctvx31

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

4 x . f ( x 2 ) + 3 f ( 1 − x ) = 1 − x 2 ⇔ 2.I= ∫ 0 1 2x. f ( x 2 ) dx+3 ∫ 0 1 f(1-x)dx= ∫ 0 1 1 − x 2 dx ⇔ 2A+3B= ∫ 0 1 1 − x 2 dx ()A= ∫ 0 1 2x. f ( x 2 ) dx Đặt t= x 2 ⇒ dt=2xdx; x=0 ⇒ t=0; x=1 ⇒ t=1; x=1 ⇒ t=0 B= ∫ 0 1 f(t)dt= ∫ 0 1 f(x)dx () ⇔ 2 ∫ 0 1 f(x)dx+3 ∫ 0 1 f(x)dx= ∫ 0 1 1 − x 2 dx ⇔ 5. ∫ 0 1 f(x)dx= ∫ 0 1 1 − x 2 dx Đặt x=sint ⇒ dx=costdt ∈ ( − 2 π ; 2 π ) ; x=0 ⇒ t=0, x=1 ⇒ t= 2 π ⇒ ∫ 0 1 1 − x 2 dx= ∫ 0 2 π 1 − s i n 2 t .costdt= ∫ 0 2 π 2 1 + cos 2 x d t = 2 1 . ( t + 2 1 s in 2 t ) ∣ ∣ 0 2 π = 4 π Vậy ∫ 0 1 f(x)dx= 20 π

$4 x . f (x^{2}) + 3 f (1 - x) = 1 - x^{2}$

$\Leftrightarrow$ 2.I= $\int_{0}^{1}$ 2x. $f (x^{2})$ dx+3 $\int_{0}^{1}$ f(1-x)dx= $\int_{0}^{1}$ $1 - x^{2}$ dx $\Leftrightarrow$ 2A+3B= $\int_{0}^{1}$ $1 - x^{2}$ dx (*)A= $\int_{0}^{1}$ 2x. $f (x^{2})$ dx

Đặt t= $x^{2}$ $\Rightarrow$ dt=2xdx; x=0 $\Rightarrow$ t=0; x=1 $\Rightarrow$ t=1; x=1 $\Rightarrow$ t=0 B= $\int_{0}^{1}$ f(t)dt= $\int_{0}^{1}$ f(x)dx

(*) $\Leftrightarrow$ 2 $\int_{0}^{1}$ f(x)dx+3 $\int_{0}^{1}$ f(x)dx= $\int_{0}^{1}$ $1 - x^{2}$ dx $\Leftrightarrow$ 5. $\int_{0}^{1}$ f(x)dx= $\int_{0}^{1}$ $1 - x^{2}$ dx

Đặt x=sint $\Rightarrow$ dx=costdt $\in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ ; x=0 $\Rightarrow$ t=0, x=1 $\Rightarrow$ t= $\frac{π}{2}$

$\Rightarrow$ $\int_{0}^{1}$ $1 - x^{2}$ dx= $\int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 - s i n^{2} t$ .costdt= $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + cos 2 x}{2} d t = \frac{1}{2} . (t + \frac{1}{2} s in 2 t) ∣ ∣ 0 \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$

Vậy $\int_{0}^{1}$ f(x)dx= $\frac{π}{20}$

Câu hỏi tương tự

Cho hàm số f(x) liên tục thỏa mãn f(x)=f(2-x)với ∀ x ∈ ( 0 ; + ∞ ) và ∫ 0 2 f(x)dx=-6. Giá trị của tích phân I= ∫ 0 2 ( x 3 − 3 x 2 )f(x)dxtương ứng bằng

Xác nhận câu trả lời

Một ô tô đang chạy với vận tốc 15(m/s)thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc a=3t-8 (m/ s 2 ), trong đó tlà khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng vận tố C. Hỏi sau 10 giây tăng vận tố...

Xác nhận câu trả lời

Tính tích phân I = ∫ 0 1 2 x 2 + 5 x + 2 1 d x

Xác nhận câu trả lời

Xét hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R, f(0)=0 và f(x)+f ( 2 π − x ) =sinxcosx với ∀ x ∈ R .Giá trị của tích phân ∫ 0 2 π xf'(x)dx

Xác nhận câu trả lời

Tính tích phân I = ∫ 1 2 + 3 m u x 2 ln x d x Đặt với t>1 Tinh J 1 theo t , t ừ đó suy ra r ằ ng: J ( y ) < 2 với ∀ t > 1

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG