Câu hỏi

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ 2 1 ; 2 ] thỏa mãn f(x)+f ( x 1 ) = x 2 + x 2 1 + 2 . Tính ∫ 2 1 2 x 2 + 1 f ( x ) dx

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $[\frac{1}{2}; 2]$ thỏa mãn f(x)+f $(\frac{1}{x})$ = $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2$ . Tính $\int_{\frac{1}{2}}^{2}$ $\frac{f ( x )}{x ^{2} + 1}$ dx

I= $\frac{3}{2}$
I=2
I= $\frac{5}{2}$
I=3

R. Robo.Ctvx31

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Đặt t= x 1 ⇒ d t = − x 2 1 d x ; x = 2 1 ⇒ t=2, x=2 ⇒ t = 2 1 I= ∫ 2 2 1 t 2 1 + 1 f ( t 1 ) 1. ( − t 2 1 ) = ∫ 2 1 2 t 2 + 1 f ( t 1 ) d t = ∫ 2 1 2 x 2 + 1 f ( t 1 ) d x Do đó: 2I= ∫ 2 1 2 x 2 + 1 f ( x ) d x + ∫ 2 1 2 x 2 + 1 f ( x 1 ) d x = ∫ 2 1 2 x 2 + 1 f ( x ) + f ( x 1 ) d x = ∫ 2 1 2 x 2 + 1 x 2 + x 2 1 + 2 d x = ∫ 2 1 2 ( 1 + x 2 1 ) d x = 3 Vậy I= 2 3

Đặt t= $\frac{1}{x} \Rightarrow d t = - \frac{1}{x ^{2}} d x; x = \frac{1}{2} \Rightarrow$ t=2, x=2 $\Rightarrow t = \frac{1}{2}$

I= $\int_{2}^{\frac{1}{2}} \frac{f ( \frac{1}{t} )}{\frac{1}{t ^{2}} + 1} 1. (- \frac{1}{t ^{2}}) =$ $\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f ( \frac{1}{t} )}{t ^{2} + 1} d t = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f ( \frac{1}{t} )}{x ^{2} + 1} d x$

Do đó: 2I= $\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f ( x )}{x ^{2} + 1} d x + \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f ( \frac{1}{x} )}{x ^{2} + 1} d x = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f ( x ) + f ( \frac{1}{x} )}{x ^{2} + 1} d x$ = $\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{x ^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2}{x ^{2} + 1} d x = \int_{\frac{1}{2}}^{2} (1 + \frac{1}{x ^{2}}) d x = 3$

Vậy I= $\frac{3}{2}$

Câu hỏi tương tự

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=sinx+cosx

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R , thỏa mãn 3f(x)+4f(-x)=g(x) với ∀ x ∈ [-a;a] .Biết giá trị của tích phân ∫ − a a f(x)dx=2. Giá trị của tích phân ∫ − a a g(x)dx tương ứng bằng

Xác nhận câu trả lời

Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x)= e x + 1 1 và F(0)=-ln22. Tập nghiệm S của phương trình F(x)+ln( e x +1)=2

Xác nhận câu trả lời

Trong các số dưới điây, số nào ghi giá trị của ∫ 0 2 ( 1 + 2 x ) d x .

Xác nhận câu trả lời

Ông An dự định làm một vườn hoa dạng elip được chia ra làm bốn phần bởi hai đường parabol có chung đỉnh, đối xứng với nhau qua trục của elip như hình vẽ dưới. Biết độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip l...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG