Câu hỏi

Cho hàm số f(x)= a x 4 − 2 x 2 + 2 '; g(x)= b x 3 + c x 2 + 2 x ccó đồ thị như hình vẽ bên: Gọi S 1 , S 2 là diện tích các hình phẳng gạch sọc trong hình vẽ, khi S 1 = 480 557 thì S 2 bằng

Cho hàm số f(x)= $a x^{4} - 2 x^{2} + 2$ '; g(x)= $b x^{3} + c x^{2} + 2 x$ ccó đồ thị như hình vẽ bên:

Gọi $S_{1}, S_{2}$ là diện tích các hình phẳng gạch sọc trong hình vẽ, khi $S_{1} = \frac{557}{480}$ thì $S_{2}$ bằng

$\frac{299}{240}$
$\frac{5}{4}$
$\frac{557}{240}$
$\frac{301}{240}$

R. Robo.Ctvx31

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có f'(x)= 4 a x 3 − 4 x Do hàm f(x)bậc bốn, hàm g(x)bậc ba và hàm số f(x)đạt cực trị tại các điểm là nghiệm của phương trình g(x) g(x)=0 nên g(x)=k.f'(x) ⇔ b x 3 + c x 2 + 2 x =k( 4 a x 3 − 4 x ) ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ b = 4 ka c = 0 2 = − 4 k ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ b = − 2 a c = 0 k = − 2 1 Khi đó f(x)= a x 4 − 2 x 2 + 2 ; g(x)= − 2 a x 3 + 2 x Diện tích hình phẳng S 1 là S 1 = ∫ − 2 1 0 (f(x)-g(x))dx= ∫ − 2 1 0 ( a x 4 − 2 x 2 + 2 + 2 a x 3 − 2 x )dx = ( 5 1 a x 5 − 3 2 x 3 + 2 x + 2 1 a x 4 − x 2 ) ∣ ∣ − 2 1 0 = 6 7 − 40 1 a Ta có S 1 = 480 557 ⇔ 6 7 − 40 1 a = 480 557 ⇔ a = 4 1 Với a = 4 1 ⇒ f(x)= 4 1 x 4 − 2 x 2 + 2 ; g(x)= − 2 1 x 3 + 2 x Khi đó g(x)=0 ⇔ − 2 1 x 3 + 2 x = 0 ⇔ [ x = 0 x = ± 2 Vì vậy, diện tích hình phẳng S 2 là S 2 = ∫ 2 3 2 (f(x)-g(x))dx= ∫ 2 3 2 [( 4 1 x 4 − 2 x 2 + 2 )-( − 2 1 x 3 + 2 x )]dx= 240 299

Ta có f'(x)= $4 a x^{3} - 4 x$

Do hàm f(x) bậc bốn, hàm g(x) bậc ba và hàm số f(x) đạt cực trị tại các điểm là nghiệm của phương trình g(x) g(x)=0 nên g(x)=k.f'(x) $\Leftrightarrow$ $b x^{3} + c x^{2} + 2 x$ =k( $4 a x^{3} - 4 x$ ) $\Leftrightarrow$ $⎩ ⎨ ⎧ b = 4 ka c = 0 2 = - 4 k \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ b = - 2 a c = 0 k = - \frac{1}{2}$

Khi đó f(x)= $a x^{4} - 2 x^{2} + 2$ ; g(x)= $- 2 a x^{3} + 2 x$

Diện tích hình phẳng $S_{1}$ là

$S_{1}$ = $\int_{- \frac{1}{2}}^{0}$ (f(x)-g(x))dx= $\int_{- \frac{1}{2}}^{0}$ ( $a x^{4} - 2 x^{2} + 2$ + $2 a x^{3} - 2 x$ )dx

= $(\frac{1}{5} a x^{5} - \frac{2}{3} x^{3} + 2 x + \frac{1}{2} a x^{4} - x^{2})$ $∣ ∣ - \frac{1}{2} 0$ = $\frac{7}{6} - \frac{1}{40} a$

Ta có $S_{1}$ = $\frac{557}{480} \Leftrightarrow$ $\frac{7}{6} - \frac{1}{40} a$ = $\frac{557}{480} \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}$

Với $a = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow$ f(x)= $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2} + 2$ ; g(x)= $- \frac{1}{2} x^{3} + 2 x$

Khi đó g(x)=0 $\Leftrightarrow - \frac{1}{2} x^{3} + 2 x = 0 \Leftrightarrow$ $[x = 0 x = \pm 2$

Vì vậy, diện tích hình phẳng $S_{2}$ là

$S_{2}$ = $\int_{\frac{3}{2}}^{2}$ (f(x)-g(x))dx= $\int_{\frac{3}{2}}^{2}$ [( $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2} + 2$ )-( $- \frac{1}{2} x^{3} + 2 x$ )]dx= $\frac{299}{240}$

Câu hỏi tương tự

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f(x) liên tục thỏa mãn f ( x 3 ) +2f(x)=2x-1với ∀ x ∈ R . Giá trị của tích phân I= ∫ − 1 2 f(x)dxtương ứng bằng

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f(x) và g(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn f(x)-f(3-x)-f(4-x)= 4 x 3 + 1 với ∀ x ∈ [0;6].Giá trị của tích phân ∫ 1 2 f(4-x)+ ∫ 1 3 f(3-x)dx tươngứng bằng

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f(x)= a x 4 + b x 2 + c có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng f(x)đạt cực trị tại các điểm x 1 ; x 2 ; x 3 thỏa mãn x 3 = x 1 + 1 và f( x 1 )+f( x 3 )+ 3 2 f( x 2 )=0. Gọi S 1 ...

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số y= x 4 − 3 x 2 + m có đồ thị ( C m ) với m là tham số thực . Giả sử( C m ) cắt trục Oxtại bốn điểm phân biệt như hình vẽ Gọi S 1 , S 2 , S 3 là diện tích các miền gạch chéo ...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG