Câu hỏi

Cho hàm số F (x) = f (x) . sinx + 2020 là một nguyên hàm của hàm số f ′ ( x ) . cos x v ớ i ∀ x ∈ [ 0 ; 4 π ] và f (0) = 1.Giá trị của tích phân I = ∫ 0 2 1 [ f ( x ) ] 2 . ( cos x − sin x ) d x bằng:

Cho hàm số F (x) = f (x) . sinx + 2020 là một nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) . cos x v ớ i \forall x \in [0; \frac{π}{4}]$ và f (0) = 1. Giá trị của tích phân $I = \int_{0}^{\frac{1}{2}} [f (x)]^{2} . (cos x - sin x) d x$ bằng:

$e - 1$
$2 e + 1$
$\frac{e ^{2} - 2}{4}$
$\frac{3 e - 4}{3}$

R. Robo.Ctvx22

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

. Đến đây ta lấy nguyên hàm hai vế, sẽ được: ∫ f ( x ) f ′ ( x ) dx = ln ∣ f ( x ) ∣ = ∫ cosx − sinx cosx dx = A Xét nguyên hàm B = ∫ cosx − sinx sinx dt Suy ra A = ∫ cosx − sinx cosx dx = 2 x − 2 1 ln ∣ cosx − sinx ∣ + C = ln ∣ f ( x ) ∣ ( ∗ ) Thay x = 0 vào (*) ta được Suy ra ∫ 0 2 1 [ f ( x ) ] 2 . ( cos x − sin x ) d x = I = ∫ 0 2 1 e x d x = e − 1

$Ta space có colon left square bracket straight F left parenthesis straight x right parenthesis right square bracket to the power of straight prime equals straight f to the power of straight prime left parenthesis straight x right parenthesis times sinx plus straight f left parenthesis straight x right parenthesis times cosx equals straight f to the power of straight prime left parenthesis straight x right parenthesis times cosx not stretchy left right double arrow fraction numerator straight f to the power of straight prime left parenthesis straight x right parenthesis over denominator straight f left parenthesis straight x right parenthesis end fraction equals fraction numerator cosx over denominator cosx minus sinx end fraction$ .

Đến đây ta lấy nguyên hàm hai vế, sẽ được: $\int \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} dx = ln ∣ f (x) ∣ = \int \frac{cosx}{cosx - sinx} dx = A$

Xét nguyên hàm $B = \int \frac{sinx}{cosx - sinx} dt$

$Suy ra A = \int \frac{cosx}{cosx - sinx} dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} ln ∣ cosx - sinx ∣ + C = ln ∣ f (x) ∣ (*)$

Thay x = 0 vào (*) ta được

$Suy space ra space straight x over 2 minus 1 half ln vertical line cosx minus sinx vertical line equals ln vertical line straight f left parenthesis straight x right parenthesis vertical line not stretchy left right double arrow left square bracket straight f left parenthesis straight x right parenthesis right square bracket squared equals fraction numerator straight e to the power of straight x over denominator cosx minus sinx end fraction$

Suy ra $\int_{0}^{\frac{1}{2}} [f (x)]^{2} . (cos x - sin x) d x = I = \int_{0}^{\frac{1}{2}} e^{x} d x = e - 1$

Câu hỏi tương tự

Biết tích phân ∫ 1 3 x 2 I n d x = a ln 3 − b ; trong đó a và b là những số biểu thức T = ab bằng:

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục và xác định trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số y = 2f(f(x)) + f(3 – 2f(x)) có ít nhất bao nhiêu điểm cực trị ?

Xác nhận câu trả lời

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân tại A và có AB = AC = AA' = 2a , góc tạo bởi mặt phẳng (AB'C') với đáy (ABC) bằng 60 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ có giá trị bằng:

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f ( x ) = x 4 − 2 m x 2 − m − 1 . Hãy tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có đúng một điểm cựctrị ?

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f(x) liên tục và xác định trên 8 có bảng biến thiên của đạo hàm f '(x) được cho như hình vẽ. Khi đó hàm số g(x) = e f(2018x - 2019) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG