Câu hỏi

Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục trên R . Biết f(3) = 1 và ∫ 0 1 x f ( 3 x ) d x = 1 , khi đó ∫ 0 3 x 2 f ′ ( x ) d x bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $R$ . Biết f(3) = 1 và $\int_{0}^{1} x f (3 x) d x = 1$ , khi đó $\int_{0}^{3} x^{2} f^{'} (x) d x$ bằng

3
7
- 9
$\frac{25}{3}$

R. Robo.Ctvx31

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Xét tích phân I = ∫ 0 1 x f ( 3 x ) d x = 1. Đặt t = 3 x ⇒ d x = 3 1 d t v a ˋ x = 3 1 t Khi x = 0 thì t = 0 Khi x = 1 thì t = 3. Do đó I = ∫ 0 3 3 1 t f ( t ) . 3 1 d t = 9 1 ∫ 0 3 t f ( t ) d t , suy ra 9 1 ∫ 0 3 t f ( t ) d t = 1 ⇒ ∫ 0 3 t f ( t ) d t = 9 ⇒ ∫ 0 3 t f ( t ) d t = 9 ⇒ ∫ 0 3 x f ( x ) d x = 9 Xét tích phân J = ∫ 0 3 x 2 f ′ ( x ) d x . Đặt { u = x 2 d v = f ′ ( x ) d x ⇒ { d u = 2 x d x v = f ( x ) , ta có J = ∫ 0 3 x 2 f ′ ( x ) d x = x 2 f ( x ) ∣ ∣ 0 3 − 2 ∫ 0 3 x f ( x ) d x = 3 2 f ( 3 ) − 0 2 f ( 0 ) − 2.9 = − 9

Xét tích phân I = $\int_{0}^{1} x f (3 x) d x = 1.$

Đặt $t = 3 x \Rightarrow d x = \frac{1}{3} d t v \overset{a}{ˋ} x = \frac{1}{3} t$

Khi x = 0 thì t = 0 Khi x = 1 thì t = 3.

Do đó $I = \int_{0}^{3} \frac{1}{3} t f (t) . \frac{1}{3} d t = \frac{1}{9} \int_{0}^{3} t f (t) d t,$

suy ra

$\frac{1}{9} \int_{0}^{3} t f (t) d t = 1 \Rightarrow \int_{0}^{3} t f (t) d t = 9 \Rightarrow \int_{0}^{3} t f (t) d t = 9 \Rightarrow \int_{0}^{3} x f (x) d x = 9$

Xét tích phân $J = \int_{0}^{3} x^{2} f^{'} (x) d x .$

Đặt ${u = x^{2} d v = f^{'} (x) d x \Rightarrow {d u = 2 x d x v = f (x),$ ta có

$J = \int_{0}^{3} x^{2} f^{'} (x) d x = x^{2} f (x) ∣ ∣_{0}^{3} - 2 \int_{0}^{3} x f (x) d x = 3^{2} f (3) - 0^{2} f (0) - 2.9 = - 9$

Câu hỏi tương tự

Biết F(x) = ( a x 2 + b x + c ) e − x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( 2 x 2 − 5 x + 2 ) e − x trên R .Giá trị biểu thức f(F(0))bằng:

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số y = f'(x)như hình bên.Đặt g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1 ) 2 .Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xác nhận câu trả lời

Giả sử hàm số f(x)có đạo hàm liên tục trên R ,nhận giá trị dương trên khoảng ( 0 ; + ∞ ) và thỏa mãn f(1) = 1, f (x) = f'(x) 3 x + 1 với mọi x > 0.Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Xác nhận câu trả lời

Đồ thị hàm số y= 3 x 4 − 1 x 2 − 3 x + 2 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Xác nhận câu trả lời

Hàm số y= − x 4 + 8 x 2 − 7 có bao nhiêu giá trị cực trị ?

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG