Câu hỏi

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f(x) + f'(x) ≤ 1 , ∀ x ∈ R và f(0) = 0. Tìm giá trị lớn nhất của f(1).

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f(x) + f'(x) $\leq 1$ , $\forall x \in R$ và f(0) = 0. Tìm giá trị lớn nhất của f(1).

$\frac{2 e - 1}{e}$
$\frac{e - 1}{e}$
e - 1
2e - 1

R. Robo.Ctvx25

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Chọn B. Ta có: ∀ x ∈ R ,f(x) + f'(x) ≤ 1 ⇔ e x f ( x ) + e x f ′ ( x ) ≤ e x ⇔ [ e x f ( x ) ] ′ ≤ ( e x ) ′ ⇔ ∫ 0 1 [ e x f ( x ) ] ′ d x ≤ ∫ 0 1 ( e x ) ′ d x [ e x f ( x ) ] ∣ 0 1 ≤ e x ∣ 0 1 ⇔ e . f ( 1 ) ≤ e − 1 ⇔ f ( 1 ) ≤ e e − 1 Do đó giá trị lớn nhất của f(1) là e e − 1 .

Chọn B.

Ta có: $\forall x \in R$ , f(x) + f'(x) $\leq 1$ $\Leftrightarrow e^{x} f (x) + e^{x} f^{'} (x) \leq e^{x} \Leftrightarrow [e^{x} f (x)]^{'} \leq (e^{x})^{'}$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} [e^{x} f (x)]^{'} d x \leq \int_{0}^{1} (e^{x})^{'} d x$ $[e^{x} f (x)] ∣_{0}^{1} \leq e^{x} ∣_{0}^{1} \Leftrightarrow e . f (1) \leq e - 1 \Leftrightarrow f (1) \leq \frac{e - 1}{e}$

Do đó giá trị lớn nhất của f(1) là $\frac{e - 1}{e}$ .

Câu hỏi tương tự

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Hình chiếu vuông góc của S lên cạnh AB là điểm H thỏa mãn AH=2BH Tính theo a t...

Xác nhận câu trả lời

Cho hình lăng trụABC.A′B′C′có đáy là tam giác đều cạnh3a, hình chiếu củaA′trên mặt phẳng(ABC)trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giácABC. CạnhAA′hợp với mặt phẳng đáy một góc45 ∘ . Tính thể tí...

Xác nhận câu trả lời

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) = x + 1 + 3 − x trên đoạn [ − 1 ; 3 ]

Xác nhận câu trả lời

Cho lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh a và diện tích mặt bên bằng 3a 2 .Thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' tương ứng bằng:

Xác nhận câu trả lời

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 x 3 + 3 x 2 − 12 x + 1 trên[−1;5].

Xác nhận câu trả lời