Câu hỏi

Cho hàm số f(x)>0 , xác định và có đọa hàm trên đoạn [0;1] và thỏa mãn g(x)=1+2018 ∫ 0 x f(t)dt và g(x)= f 2 (x).Tính ∫ 0 1 g ( x ) d x

Cho hàm số f(x)>0 , xác định và có đọa hàm trên đoạn [0;1] và thỏa mãn g(x)=1+2018 $\int_{0}^{x}$ f(t)dt và g(x)= $f^{2}$ (x).Tính $\int_{0}^{1} g (x) d x$

$\frac{1011}{2}$
$\frac{1099}{2}$
$\frac{2019}{2}$
505

R. Robo.Ctvx31

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Áp dụng công thức ∫ a u ( x ) f ( t ) d t =u'.f(u) g(x)=1+2018 ∫ 0 x f(t)dt ⇒ g'(x)=2018f(x) ⇔ g'(x)=2018 g ( x ) ⇔ g ( x ) g ′ ( x ) =2018 Suy ra ∫ g ( x ) g ′ ( x ) dx= ∫ 2018dx ⇔ 2 g ( x ) =2018+C() Từ điều kiện: g(x)=1+2018 ∫ 0 x f(t)dt ⇒ g(0)=1 thay vào () ta có C=2 Do đó g ( x ) =1009x+1. Vậy ∫ 0 1 g ( x ) d x = ∫ 0 1 (100x+1)dx= 2 1011

Áp dụng công thức $\int_{a}^{u (x)} f (t) d t$ =u'.f(u)

g(x)=1+2018 $\int_{0}^{x}$ f(t)dt $\Rightarrow$ g'(x)=2018f(x) $\Leftrightarrow$ g'(x)=2018 $g (x) \Leftrightarrow \frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )}$ =2018

Suy ra $\int$ $\frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )}$ dx= $\int$ 2018dx $\Leftrightarrow$ 2 $g (x)$ =2018+C(*)

Từ điều kiện: g(x)=1+2018 $\int_{0}^{x}$ f(t)dt $\Rightarrow$ g(0)=1 thay vào (*) ta có C=2

Do đó $g (x)$ =1009x+1. Vậy $\int_{0}^{1} g (x) d x$ = $\int_{0}^{1}$ (100x+1)dx= $\frac{1011}{2}$

Câu hỏi tương tự

Xét đa thức P(x) có bảng xét dấu trên đoạn [-1;2] như sau: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=P(x),trục hoành và các đường thẳn x=-1; x=2. Chọn khẳng định đúng

Xác nhận câu trả lời

Tính tích phân ∫ 0 e − 1 xln(x+1)dxta được kết quả có dạng c a e 2 + b ,trong đó a,b,c ∈ Z và b a là phân số tối giản. Tính T= a 2 + 2 b − 3 c

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f(x)đồng biến, biếtf(x)>0, ∀ x ∈ [1;4]và có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4]thỏa mãnf(1)=1 và [ 2 f ( x ) + x f ′ ( x )] 2 = x f ( x ) với mọix ∈ [1;4]. Khi đó ∫ 0 4 f(x)dx bằng

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn f ( x 3 + 1 ) = 2 x − 1. ∀ x ∈ R . Tính ∫ 0 2 f(x)dx

Xác nhận câu trả lời

Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100m và chiều rộng là 60m người ta làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường Elip,...

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f(x)&gt;0 , xác định và có đọa hàm trên đoạn [0;1] và thỏa mãn g(x)=1+2018 ∫ 0 x ​ f(t)dt và g(x)= f 2 (x).Tính ∫ 0 1 ​ g ( x ) ​ d x

Giải thích

Câu hỏi tương tự

Cho hàm số f(x)>0 , xác định và có đọa hàm trên đoạn [0;1] và thỏa mãn g(x)=1+2018 ∫ 0 x f(t)dt và g(x)= f 2 (x).Tính ∫ 0 1 g ( x ) d x