Câu hỏi

Cho hàm số f ( x ) = x + x 1 . Cho điểm M ( a ; b ) sao cho có đúng hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) đi qua M, đồng thời hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. Biết điểm M luôn thuộc một đường tròn cố định, bán kính của đường tròn đó là

Cho hàm số $f (x) = x + \frac{1}{x} .$ Cho điểm $M (a; b)$ sao cho có đúng hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f (x)$ đi qua M, đồng thời hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. Biết điểm M luôn thuộc một đường tròn cố định, bán kính của đường tròn đó là

$2.$
$4.$
$1.$
$2 .$

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Chọn A Giả sử điểm A ( t ; t t 2 + 1 ) ( t  = 0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) . Ta có f ′ ( x ) = x x 2 − 1 nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A là y = t t 2 − 1 ( x − t ) + t t 2 + 1 . Tiếp tuyến trên đi qua M khi và chỉ khi b = t t 2 − 1 ( a − t ) + t t 2 + 1 ⇔ ( a − b ) t 2 + 2 t − a = 0. () Yêu cầu bài toán tương đương phương trình () có hai nghiệm phân biệt t 1 , t 2 khác 0 thỏa mãn f ′ ( t 1 ) f ′ ( t 2 ) = − 1 hay ⎩ ⎨ ⎧ a  = b a  = 0 △ ′ = 1 + a ( a − b ) > 0 t 1 t 1 2 − 1 . t 2 t 2 2 − 1 = − 1. Theo định lí Viète, ta có t 1 + t 2 = b − a 2 , t 1 t 2 = b − a a . Suy ra t 2 t 2 2 − 1 = − 17 ⇔ 2 t 1 2 t 2 2 − ( t 1 2 + t 2 2 ) + 1 = 0 ⇔ ( a − b ) 2 2 a 2 + b − a 2 a − ( a − b ) 2 4 + 1 = 0 ⇔ 2 a 2 + 2 a ( b − a ) − 4 + ( a − b ) 2 = 0 ⇔ a 2 + b 2 = 4. Do a  = 0 nên từ a 2 + b 2 = 4 , ta suy ra ∣ b ∣ < 2 , do đó a 2 + 1 ≥ 2 ∣ a ∣ > ∣ ab ∣ ≥ ab . Như vậy tập hợp các điểm M ( a ; b ) thỏa mãn yêu cầu bài toán là ⎩ ⎨ ⎧ a 2 + b 2 = 4 a  = b a  = 0 tức là đường tròn tâm O, bán kính 2 trừ bỏ đi các điểm B ( 0 ; 2 ) , C ( 0 ; − 2 ) , D ( 2 ; 2 ) và E ( − 2 ; − 2 ) .

Chọn A

Giả sử điểm $A (t; \frac{t ^{2} + 1}{t}) (t \neq = 0)$ thuộc đồ thị hàm số $y = f (x)$ . Ta có $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x}$ nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A là

$y = \frac{t ^{2} - 1}{t} (x - t) + \frac{t ^{2} + 1}{t} .$

Tiếp tuyến trên đi qua M khi và chỉ khi

$b = \frac{t ^{2} - 1}{t} (a - t) + \frac{t ^{2} + 1}{t} \Leftrightarrow (a - b) t^{2} + 2 t - a = 0.$ (*)

Yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $t_{1}, t_{2}$ khác 0 thỏa mãn $f^{'} (t_{1}) f^{'} (t_{2}) = - 1$ hay

$⎩ ⎨ ⎧ a \neq = b a \neq = 0 △^{'} = 1 + a (a - b) > 0 \frac{t _{1}^{2} - 1}{t _{1}} . \frac{t _{2}^{2} - 1}{t _{2}} = - 1.$

Theo định lí Viète, ta có $t_{1} + t_{2} = \frac{2}{b - a}, t_{1} t_{2} = \frac{a}{b - a} .$ Suy ra

$\frac{t _{2}^{2} - 1}{t _{2}} = - 17 \Leftrightarrow 2 t_{1}^{2} t_{2}^{2} - (t_{1}^{2} + t_{2}^{2}) + 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{2 a ^{2}}{( a - b ) ^{2}} + \frac{2 a}{b - a} - \frac{4}{( a - b ) ^{2}} + 1 = 0 \Leftrightarrow 2 a^{2} + 2 a (b - a) - 4 + (a - b)^{2} = 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 4.$