Câu hỏi

Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + 1 có đồ thị ( C ) và điểm A ( 1 ; m ) . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để qua A có thể kể được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị ( C ) . Số phần tử của S là

Cho hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} + 1$ có đồ thị $(C)$ và điểm $A (1; m) .$ Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để qua A có thể kể được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị $(C) .$ Số phần tử của S là

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Chọn C Đường thẳng d đi qua điểm A ( 1 ; m ) hệ số góc k có phương trình là y = k ( x − 1 ) + m . Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị ( C ) khi và chỉ khi hệ phương trình { x 3 + 3 x 2 + 1 = k ( x − 1 ) + m ( 1 ) 3 x 2 + 6 x = k ( 2 ) có nghiệm x. Thay ( 2 ) vào ( 1 ) ta có phương trình x 3 + 3 x 2 + 1 = ( 3 x 2 + 6 x ) ( x − 1 ) + m ⇔ 2 x 3 − 6 x − 1 = − m ( 3 ) . Qua điểm A ( 1 ; m ) kẻ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị ( C ) ⇔ phương trình ( 3 ) có ba nghiệm phân biệt ⇔ hai đồ thị hàm số y = f ( x ) = 2 x 3 − 6 x − 1 và y = − m cắt nhau tại ba điểm phân biệt. Ta có bảng biến thiên của hàm số y = 2 x 3 − 6 x − 1 như sau: Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) suy ra − 5 < − m < 3 ⇔ − 3 < m < 5 m ∈ Z m ∈ { − 2 ; − 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 } . Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C

Đường thẳng d đi qua điểm $A (1; m)$ hệ số góc k có phương trình là $y = k (x - 1) + m .$

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ khi và chỉ khi hệ phương trình

${x^{3} + 3 x^{2} + 1 = k (x - 1) + m (1) 3 x^{2} + 6 x = k (2)$ có nghiệm x.

Thay $(2)$ vào $(1)$ ta có phương trình $x^{3} + 3 x^{2} + 1 = (3 x^{2} + 6 x) (x - 1) + m \Leftrightarrow 2 x^{3} - 6 x - 1 = - m (3) .$

Qua điểm $A (1; m)$ kẻ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị $(C) \Leftrightarrow$ phương trình $(3)$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ hai đồ thị hàm số $y = f (x) = 2 x^{3} - 6 x - 1$ và $y = - m$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

Ta có bảng biến thiên của hàm số $y = 2 x^{3} - 6 x - 1$ như sau:

Từ bảng biến thiên của hàm số $y = f (x)$ suy ra $- 5 < - m < 3 \Leftrightarrow - 3 < m < 5 m \in Z m \in {- 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4} .$ Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.