Cho hàm số y = x 3 − ( 4 m + 5 ) x 2 + ( 3 m 2 + 12 m + 8 ) x − 7 m 2 − 8 m có đồ thị ( C m ​ ) . Tìm m để ( C m ​ ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng

Giải thích

Hàm số đã cho xác định D = R Hoành độ giao điểm của trục hoành và ( C m ​ ) là nghiệm của phương trình x 3 − ( 4 m + 5 ) x 2 + ( 3 m 2 + 12 m + 8 ) x − 7 m 2 − 8 m = 0 ⇔ ( x − m ) [ x 2 − ( 3 m + 5 ) x + 7 m + 8 ] = 0 ⇔ x = m hoặc g ( x ) = [ x 2 − ( 3 m + 5 ) x + 7 m + 8 ] = 0 Đế ( C m ​ ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình g(x) có hai nghiệm phân biệt khác m tức phải có: { △ > 0 g ( m )  = 0 ​ ⇔ { 9 m 2 + 2 m − 7 > 0 − 2 m 2 + 2 m + 8  = 0 ​ ⇔ 2 1 − 17 ​ ​  = m < − 1 v a ˋ 9 7 ​ < m  = 2 1 + 17 ​ ​ ( ∗ ) Vậy điều kiện (*) thì ( C m ​ ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x 1 ​ , x 2 ​ , x 3 ​ lập thành một số cấp cộng. Để thuận tiện trong việc tính toán, giả sử các nghiệm lập thành cấp số cộng của phương trình hoành độ là x 0 ​ − d , x 0 ​ , x 0 ​ + d với d là công sai. Khi đó đẳng thức sau luôn đúng x 3 − ( 4 m + 5 ) x 2 + ( 3 m 2 + 12 + 8 ) x − 7 m 2 − 8 m = ( x − x 0 ​ − d ) ( x − x 0 ​ ) ( x − x 0 ​ + d ) ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ​ 4 m + 5 = 3 x 0 ​ 3 m 2 + 12 m + 8 = 3 x 0 2 ​ − d 2 7 m 2 + 8 m = x 0 3 ​ − x 0 ​ d 2 ​ ⇔ 7 m 2 + 8 m = ( 3 4 m + ​ ) 2 − 3 4 m + 5 ​ . 3 7 m 2 + 4 m + 1 ​ ⇔ 10 m 3 + 51 m 2 − 6 m − 55 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = − 5 hoặc m = − 10 11 ​ Kết hợp với điều kiện 2 1 − 17 ​ ​  = m < − 1 hoặc 9 7 ​ < m  = 2 1 + 17 ​ ​ Vậy m = 1 hoặc m = − 5 hoặc m = − 10 11 ​ không thỏa mãn yêu cầu bài toán