Cho hàm số f ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e , ( a  = 0 ) có đồ thị của đạo hàm f ′ ( x ) như hình vẽ. Biết rằng e > n Số điểm cực trị của hàm số y = f ′ ( f ( x ) − 2 x ) là

Giải thích

Chọn A Ta có y ′ = ( f ′ ( x ) − 2 ) f ′′ [ f ( x ) − 2 x ] y ′ = 0 ⇔ ( f ′ ( x ) − 2 ) f ′′ [ f ( x ) − 2 x ] = 0 ⇔ [ f ′ ( x ) − 2 = 0 ( 1 ) f ′′ [ f ( x ) − 2 x ] = 0 ( 2 ) ​ Xét phương trình (1) ⇔ f ′ ( x ) = 2 Từ đồ thị ta có phương trình (1)có 3 nghiệm phân biệt x 1 ​ , 0 , x 2 ​ ( x 1 ​ < m < 0 < n < x 2 ​ ) Xét phương trình (2) Trước hết ta có: f ′ ( x ) = 4 a x 3 + 3 b x 2 + 2 c x + d f ′ ( 0 ) = 2 ⇔ d = 2 Suy ra f ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + 2 x + e ( 2 ) ⇔ f ′′ [ f ( x ) − 2 x ] = 0 ⇔ [ f ′ ( x ) − 2 x = m f ( x ) − 2 x = m ​ ⇔ [ a x 4 + b x 3 + c x 2 + e = m a x 4 + b x 3 + c x 2 + e = n ​ ⇔ [ a x 4 + b x 3 + c x 2 = m − e ( 2 a ) a x 4 + b x 3 + c x 2 = n − e ( 2 b ) ​ Số nghiệm của hai phương trình (2a) và (2b)lần lượt bằng số giao điểm của hai đường thẳng y = m - e và y = n - e (trong đó m - e < n - e < 0)với đồ thị hàm số g ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 g ′ ( x ) = 4 a x 3 + 3 b x 2 + 2 c x g ′ ( x ) = 0 ⇔ 4 a x 3 + 3 b x 2 + 2 c x = 0 ⇔ 4 a x 3 + 3 b x 2 + 2 c x + 2 = 0 ⇔ f ′ ( x ) = 2 ⇔ ⎣ ⎡ ​ x = x 1 ​ < 0 x = 0 x = x 2 ​ > 0 ​ Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) suy ra: + ) x → − ∞ l im ​ f ′ ( x ) = + ∞ nên a < 0 nên x → − ∞ l im ​ g ( x ) = − ∞ , x → + ∞ l im ​ g ( x ) = − ∞ Bảng biến thiên của hàm số y = g(x): Từ bảng biến thiên suy ra hai phương trình (2a),(2b) mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt (hai phương trình không có nghiệm trùng nhau) và khác x 1 ​ , 0 , x 2 ​ Suy ra phương trình ( f ′ ( x ) − 2 ) f ′′ [ f ( x ) − 2 x ] = 0 có 7 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số y = f ′ [ f ( x ) − 2 x ] có 7 điểm cực trị.