Cho hàm số y = x + 1 2 x + 1 ​ (C). Tìm k để đường thẳng d: y = kx + 2k +1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.

Giải thích

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: x + 1 2 x + 1 ​ = k x + 2 k + 1 ⇔ 2 x + 1 = ( x + 1 ) ( k x + 2 k + 1 ) (điều kiện: x  = − 1 ) ⇔ k x 2 + ( 3 k − 1 ) x + 2 k = 0 (1). (điều kiện: x  = − 1 ) d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ​ k  = 0 △ = k 2 − 6 k + 1 > 0 k ( − 1 ) 2 + ( 3 k − 1 ) ( − 1 ) + 2 k  = 0 ​ ⇔ { k  = 0 k < 3 − 2 2 ​ ∨ k > 3 + 2 2 ​ ​ Khi đó: A(x 1 ;kx 1 +2k+1), B(x 2 ,;kx 2 ,+2k+1) với x 1 , x 2 là nghiệm của (1). Theo định lý Việt ta có { x 1 ​ + x 2 ​ = k − 3 k + 1 ​ x 1 ​ x 2 ​ = 2 ​ . Tính được d(A;Ox) = d(B;Ox) ⇔ ∣ k x 1 ​ + 2 k + 1 ∣ = ∣ k x 2 ​ + 2 k + 1 ∣ ⇔ [ k x 1 ​ + 2 k + 1 = k x 2 ​ + 2 k + 1 k x 1 ​ + 2 k + 1 = − k x 2 ​ − 2 k − 1 ​ ⇔ [ x 1 ​ = x 2 ​ ( l o ạ i ) k ( x 1 ​ + x 2 ​ ) + 4 k + 2 = 0 ​ ⇔ k ( x 1 ​ + x 2 ​ ) + 4 k + 2 = 0 ⇔ k = − 3. Vậy k = –3 thỏa yêu cầu bài toán