Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R và f ′ ( x ) có bảng biến thiên như sau: Hàm số g ( x ) = f ( ∣ ∣ ​ e 2 x − 2 x − 2 ∣ ∣ ​ ) có bao nhiêu cực trị?

Giải thích

Chọn A Đặt t ( x ) = ∣ ∣ ​ e 2 x − 2 x − 2 ∣ ∣ ​ Ta có: g ′ ( x ) = t ′ ( x ) . f ′ [ t ( x ) ] g ′ ( x ) = 0 ⇔ [ t ′ ( x ) = 0 ( 1 ) f ′ [ t ( x ) ] = 0 ( 2 ) ​ Xét (1): Với t ( x ) = ∣ ∣ ​ e 2 x − 2 x − 2 ∣ ∣ ​ thì số nghiệm của phương trình t ′ ( x ) = 0 chính là số điểm cực trị của t ( x ) Gọi h ( x ) = e 2 x − 2 x − 2 Ta có: h ′ ( x ) = 2 e 2 x − 2 = 0 ⇔ x = 0 Vậy x = 0 là nghiệm đơn duy nhất của phương trình h ′ ( x ) = 0 và h ′ ( x ) đổi dấu khi qua x = 0 nên x = 0 là điểm cực trị của h ( x ) Ta được bảng biến thiên của h ( x ) : Ta suy ra được bảng biến thiên của t ( x ) (Vì t ( x ) = ∣ h ( x ) ∣ ): Vậy t ( x ) có 3 cực trị nên phương trình t ′ ( x ) = 0 có 3 nghiệm (*) Xét (2) Vẽ đường thẳng y = 0 và bảng biến thiên của f ′ ( x ) ⇒ f ′ [ t ( x ) ] = 0 ⇔ ⎣ ⎡ ​ t ( x ) = a ( a < − 1 ) t ( x ) = b ( − 1 < b < 0 ) t ( x ) = c ( 0 < c < 1 ) t ( x ) = d ( d > 1 ) ​ Vẽ các đường thẳng y = a , y = b , y = c , y = d vào bảng biến thiên của t ( x ) : Vậy (2) có 6 nghiệm (**) Từ (*) và (**) ta suy ra g ′ ( x ) = 0 có 9 nghiệm và vì các nghiệm đều là bội lẻ (do không trùng nhau) nên g ( x ) có 9 cực trị.