Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên R thỏa mãn ∣ f ( x + h ) − f ( x − h ) ∣ ≤ h 2 , ∀ x ∈ R , ∀ h > 0 . Đặt g ( x ) = [ x + f ′ ( x ) ] 2019 + [ x + f ′ ( x ) ] 29 − m − ( m 4 − 29 m 2 + 100 ) sin 2 x − 1 , m là tham số nguyên và m < 27 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m sao cho hàm số g ( x ) đạt cực tiểu tại x = 0 . Tính tổng bình phương các phần tử S.

Giải thích

Từ giả thiết ta có Ta có : g ′ ( x ) = 2019 [ x + f ′ ( x ) ] 2018 ( 1 + f ′′ ( x ) ) + ( 29 − m ) [ x + f ′ ( x ) ] 28 − m ( 1 + f ′′ ( x ) ) − ( m 4 − 29 m 2 + 100 ) sin 2 x g ′′ ( x ) = 2019.2018 [ x + f ′ ( x ) ] 2017 + ( 29 − m ) ( 28 − m ) x 27 − m − 2 ( m 4 − 29 m 2 + 100 ) cos 2 x Khi đó g ′ ( 0 ) = 0 ; g ′′ ( 0 ) = − 2 ( m 4 − 29 m 2 + 100 ) g ′′ ( 0 ) > 0 ⇔ m 4 − 29 m 2 + 100 < 0 ⇔ 4 < m 2 < 25 ⇔ m ∈ ( − 5 ; − 2 ) ∪ ( 2 ; 5 ) Trường hợp m = 2 , ta có g ′ ( x ) = 2019 x 2018 + 27 x 26 = x 26 ( 2019 x 1992 + 27 ) . Vì x = 0 là nghiệm bội chẵn của phương trình g ′ ( x ) = 0 nên trường hợp này loại. Trường hợp m = 5 , ta có g ′ ( x ) = 2019 x 2018 + 24 x 23 = x 23 ( 2019 x 1995 + 24 ) . Trường hợp m = − 2 , ta có g ′ ( x ) = 2019 x 2018 + 31 x 30 = x 30 ( 2019 x 1988 + 31 ) . Vì x = 0 là nghiệm bội chẵn của phương trình g ′ ( x ) = 0 nên trường hợp này loại. Trường hợp m = 5 , ta có g ′ ( x ) = 2019 x 2018 + 24 x 23 = x 23 ( 2019 x 1995 + 24 ) . Dễ thấy g ′ ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 0 nên hàm số g ( x ) đạt cực tiểu tại x = 0 . Trường hợp m = − 5 , ta có g ′ ( x ) = 2019 x 2018 + 34 x 33 = x 33 ( 2019 x 1985 + 34 ) . Dễ thấy g ′ ( x ) = 0 đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 0 nên hàm số g ( x ) đạt cực tiểu tại x = 0 . Vậy S ∈ { − 5 ; − 4 ; − 3 ; 3 ; 4 ; 5 } nên tổng các bình phương của các phần tử của Slà 100.