Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 1 ) 2 ( x 2 − 2 x ) , ∀ x ∈ R . Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x 3 − 3 x 2 + m ) có 8 điểm cực trị là?

Giải thích

Câu hỏi này thuộc dạng:Cực trị của hàm ẩn. Ta có f ′ ( x ) = ( x − 1 ) 2 ( x 2 − 2 x ) = ( x − 1 ) 2 x ( x − 2 ) ; g ′ ( x ) = ( 3 x 2 − 6 x ) ⋅ f ′ ( x 3 − 3 x 2 + m ) = ( 3 x 2 − 6 x ) ( x 3 − 3 x 2 + m − 1 ) 2 . ( x 3 − 3 x 2 + m ) ( x 3 − 3 x 2 + m − 2 ) g ′ ( x ) = 0 ⇔ ⎣ ⎡ ​ x = 0 ∨ x = 2 x 3 − 3 x 2 = − m + 1 ( 1 ) x 3 − 3 x 2 = − m ( 2 ) x 3 − 3 x 2 = − m + 2 ( 3 ) . ​ Ta thấy những nghiệm (nếu có) từ phương trình (1) luôn là nghiệm kép ( g ′ ( x ) không đổi dấu khi đi qua nghiệm kép). Vì vậy, yêu cầu đề bài tương đương hai phương trình (2) và (3) có tất cả sáu nghiệm phân biệt khác 0 và 2 (*). Xét hàm số h ( x ) = x 3 − 3 x 2 , x ∈ R . h ′ ( x ) = 3 x 2 − 6 x ⇔ { x = 0 x = 2 ​ Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, ta thấy ( ∗ ) ⇔ { − 4 < − m < 0 − 4 < − m + 2 < 0 ​ ⇔ { 0 < m < 4 2 < m < 6 ​ ⇔ 2 < m < 4 . Vậy có 1 giá trị nguyên của m là m = 3 .