Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 2 ; 4 ] và biết F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 x cos x − sin x ​ . Hỏi đồ thị của hàm số y = F ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng ( 0 ; 4 π ) ?

Giải thích

Câu hỏi này thuộc dạng bài:Các bài tập sử dụng định nghĩa, tính chất và nguyên hàm cơ bản. Ta có F ′ ( x ) = f ( x ) = x 2 x cos x − sin x ​ trên ( 0 ; 4 π ) . F ′ ( x ) = f ( x ) = x 2 x cos x − sin x ​ = 0 ⇔ x cos x − sin x = 0 trên ( 0 ; 4 π ) . Đặt g ( x ) = x cos x − sin x trên ( 0 ; 4 π ) . Ta có g ′ ( x ) = − x . sin x = 0 ⇔ ⎣ ⎡ ​ x = π x = 2 π x = 3 π ​ trên ( 0 ; 4 π ) . Từ đó có bảng biến thiên của g ( x ) : Vì g ( x ) liên tục và đồng biến trên [ π ; 2 π ] và g ( π ) . g ( 2 π ) < 0 nên tồn tại duy nhất x 1 ​ ∈ ( π ; 2 π ) sao cho g ( x 1 ​ ) = 0. Tương tự ta có g ( x 2 ​ ) = 0 , g ( x 3 ​ ) = 0 , với x 2 ​ ∈ ( 2 π ; 3 π ) , x 3 ​ ∈ ( 3 π ; 4 π ) . Từ bảng biến thiên của g ( x ) ta thấy g ( x ) < 0 khi x ∈ ( 0 ; x 1 ​ ) và x ∈ ( x 2 ​ ; x 3 ​ ) ; g ( x ) > 0 khi x ∈ ( x 1 ​ ; x 2 ​ ) và x ∈ ( x 3 ​ ; 4 π ) . Dấu của f ( x ) là dấu của g ( x ) trên ( 0 ; 4 π ) . Do đó ta có bảng biến thiên của F ( x ) : Vậy hàm số y = F ( x ) có ba cực trị.