Cho hàm số y = ∣ ∣ ​ x 3 − 3 x 2 + 3 ∣ ∣ ​ . Có bao nhiêu số nguyên m < 20 để bất phương trình sau luôn đúng f ( x 2 + 2 x + 4 x 2 + 6 x + 12 ​ ) ≤ m

Giải thích

Đặt g ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3 g ′ ( x ) = 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔ [ x = 0 x = 2 ​ Đặt h ( x ) = f ( x 2 + 2 x + 4 x 2 + 6 x + 12 ​ ) h ′ ( x ) = ( x 2 + 2 x + 4 ) 2 − 4 x 2 − 16 x ​ f ′ ( x 2 + 2 x + 4 x 2 + 6 x + 12 ​ ) = 0 ⇒ ⎣ ⎡ ​ ( x 2 + 2 x + 4 ) 2 − 4 x 2 − 16 x ​ = 0 x 2 + 2 x + 4 x 2 + 6 x + 12 ​ = 0 x 2 + 2 x + 4 x 2 + 6 x + 12 ​ = 2 ​ ⇒ ⎣ ⎡ ​ − 4 x 2 − 16 x = 0 x 2 + 6 x + 12 = 0 x 2 − 2 x − 4 = 0 ​ ⇒ ⎣ ⎡ ​ x = − 4 x = 0 x = 1 + 5 ​ x = 1 − 5 ​ ​ Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, ta có: bất phương trình f ( x 2 + 2 x + 4 x 2 + 6 x + 12 ​ ) ≤ m luôn đúng ⇔ m ≥ 3 mà: m < 20 nên: m ∈ { 3 ; 4 ; 5 ; ... ; 19 ; 20 } (chọn D)