Cho hàm số f ( x ) biết f ′ ( x ) = x 2 ( x − 1 ) 3 ( x 2 − 2 m x + m + 6 ) . Số giá trị nguyên của m để hàm số đã chocó đúng một điểm cực trị là

Giải thích

Ta có f ′ ( x ) = x 2 ( x − 1 ) 3 ( x 2 − 2 m x + m + 6 ) = 0 ⇔ ⎣ ⎡ ​ x = 0 x = 1 x 2 − 2 m x + m + 6 = 0 ​ Trong đó nghiệm x = 0 là nghiệm bội chẵn nên không là điểm cực trị. Để hàm số f ( x ) có đúng một điểm cực trị thì phương trình g ( x ) = x 2 − 2 m x + m + 6 = 0 vô nghiệm hoặc cónghiệm kép x = 1 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x = 1 Trường hợp 1: △ ′ < 0 ⇔ m 2 − m − 6 < 0 ⇔ − 2 < m < 3 Trường hợp 2: ⎣ ⎡ ​ { △ ′ > 0 g ( 1 ) = 0 ​ { △ ′ = 0 2 a − b ​ = 1 ​ ​ ⇔ ⎣ ⎡ ​ { m 2 − m − 6 > 0 − m + 7 = 0 ​ { m 2 − m − 6 = 0 m = 1 ​ ​ ⇔ ⎣ ⎡ ​ ⎩ ⎨ ⎧ ​ [ m < − 2 m > 3 ​ m = 7 ​ ⎩ ⎨ ⎧ ​ [ m = − 2 m = 3 ​ m = 1 ​ ​ ⇔ m = 7 Vậy m ∈ { − 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 7 } .Suy ra có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.