Cho hàm số f ( x ) biết f ′ ( x ) = x 2 ( x − 1 ) 3 ( x 2 − 2 m x + m + 6 ) . Số giá trị nguyên của m để hàm số đã chocó đúng một điểm cực trị là
Cho hàm số f(x) biết f′(x)=x2(x−1)3(x2−2mx+m+6). Số giá trị nguyên của m để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị là
6
4
7
5
EE
E. Elsa
Giáo viên
Xác nhận câu trả lời
Giải thích
Ta có f ′ ( x ) = x 2 ( x − 1 ) 3 ( x 2 − 2 m x + m + 6 ) = 0 ⇔ ⎣ ⎡ x = 0 x = 1 x 2 − 2 m x + m + 6 = 0
Trong đó nghiệm x = 0 là nghiệm bội chẵn nên không là điểm cực trị.
Để hàm số f ( x ) có đúng một điểm cực trị thì phương trình g ( x ) = x 2 − 2 m x + m + 6 = 0 vô nghiệm hoặc cónghiệm kép x = 1 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x = 1
Trường hợp 1: △ ′ < 0 ⇔ m 2 − m − 6 < 0 ⇔ − 2 < m < 3
Trường hợp 2:
⎣ ⎡ { △ ′ > 0 g ( 1 ) = 0 { △ ′ = 0 2 a − b = 1 ⇔ ⎣ ⎡ { m 2 − m − 6 > 0 − m + 7 = 0 { m 2 − m − 6 = 0 m = 1 ⇔ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ [ m < − 2 m > 3 m = 7 ⎩ ⎨ ⎧ [ m = − 2 m = 3 m = 1 ⇔ m = 7
Vậy m ∈ { − 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 7 } .Suy ra có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Ta có f′(x)=x2(x−1)3(x2−2mx+m+6)=0⇔⎣⎡x=0x=1x2−2mx+m+6=0
Trong đó nghiệm x=0 là nghiệm bội chẵn nên không là điểm cực trị.
Để hàm số f(x) có đúng một điểm cực trị thì phương trình g(x)=x2−2mx+m+6=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x=1 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x=1