Câu hỏi

Cho hàm số y = f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d . Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục Oxtại ba điểm phân biệt có hoành độ là − 1 , 3 1 , 2 1 . Hỏi phương trình f [ sin ( x 2 ) ] = f ( 0 ) có bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ − π ; π ] .

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ . Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ là $- 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ . Hỏi phương trình $f [sin (x^{2})] = f (0)$ có bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[- π; π]$ .

E. Elsa

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Vì đồ thị hàm số f ( x ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên f ( x ) là hàm số bậc 3 ⇒ a  = 0 Từ giả thiết ta có: + ( x ) = a ( x + 1 ) ( x − 3 1 ) ( x − 2 1 ) ⇔ f ( x ) = 6 1 a ( 6 x 3 + x 2 − 4 x + 1 ) . Khi đó: y ′ = 6 1 a ( 18 x 2 + 2 x − 4 ) = 0 ⇔ x = 18 − 1 ± 73 Suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị nằm khác phía với trục tung Từ đó ta có phương trình f [ sin ( x 2 ) ] = f ( 0 ) ⇔ ⎣ ⎡ sin ( x 2 ) = a 1 ∈ ( − 1 ; 0 ) ( 1 ) sin ( x 2 ) = 0 ( 2 ) sin ( x 2 ) = a 2 ∈ ( 2 1 ; 1 ] ( 3 ) * Giải (1) Vì x ∈ [ − π ; π ] nên x 2 ∈ [ 0 , π ] ⇒ sin ( x 2 ) ∈ [ 0 ; 1 ] . Do đó phương trình (1) không có nghiệm thỏa mãn đề bài (2) ⇔ x 2 = kπ Vì x 2 ∈ [ 0 ; π ] nên ta phải có 0 ≤ kπ ≤ k , π ∈ Z ⇔ 0 ≤ k ≤ 1 , k ∈ Z ⇒ k ∈ { 0 ; 1 } Suy ra phương trình (2) có 3 nghiệm thỏa mãn là x 1 = − π ; x 2 = 0 ; x 3 = π (3) ⇔ [ x 2 = sin − 1 ( a 2 ) + k 2 π x 2 = − sin − 1 ( a 2 ) + k 2 π , (với sin − 1 ( a 2 ) ∈ [ 6 π ; 2 π ] ) Vì x 2 ∈ [ 0 ; π ] nên ta thấy phương trình (3) có các nghiệm thỏa mãn là x = ± sin − 1 ( a 2 ) và x = ± π − sin − 1 ( a 2 ) Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Vì đồ thị hàm số $f (x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên $f (x)$ là hàm số bậc 3 $\Rightarrow a \neq = 0$

Từ giả thiết ta có: $+ (x) = a (x + 1) (x - \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{2})$ $\Leftrightarrow f (x) = \frac{1}{6} a (6 x^{3} + x^{2} - 4 x + 1)$ .

Khi đó: $y^{'} = \frac{1}{6} a (18 x^{2} + 2 x - 4) = 0$ $\Leftrightarrow x = \frac{- 1 \pm 73}{18}$

Suy ra đồ thị hàm số $y = f (x)$ có hai điểm cực trị nằm khác phía với trục tung

Từ đó ta có phương trình $f [sin (x^{2})] = f (0)$ $\Leftrightarrow$ $⎣ ⎡ sin (x^{2}) = a_{1} \in (- 1; 0) (1) sin (x^{2}) = 0 (2) sin (x^{2}) = a_{2} \in (\frac{1}{2}; 1] (3)$

* Giải (1)

Vì $x \in [- π; π]$ nên $x^{2} \in [0, π] \Rightarrow sin (x^{2}) \in [0; 1]$ . Do đó phương trình (1) không có nghiệm thỏa mãn đề bài

*(2) $\Leftrightarrow x^{2} = kπ$

Vì $x^{2} \in [0; π]$ nên ta phải có $0 \leq kπ \leq k, π \in Z \Leftrightarrow 0 \leq k \leq 1, k \in Z \Rightarrow k \in {0; 1}$

Suy ra phương trình (2) có 3 nghiệm thỏa mãn là $x_{1} = - π; x_{2} = 0; x_{3} = π$

*(3) $\Leftrightarrow [x^{2} = sin^{- 1} (a_{2}) + k 2 π x^{2} = - sin^{- 1} (a_{2}) + k 2 π$ , (với $sin^{- 1} (a_{2}) \in [\frac{π}{6}; \frac{π}{2}]$ )