Câu hỏi

Cho hàm số bậc ba y = f(x)có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.Biết hàm số f(x) đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2 thỏa mãn x 2 = x 1 + 2 và f ( x 1 ) + f ( x 2 ) = 0 . Gọi S 1 và S 2 là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số S 2 S 1 bằng

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Biết hàm số f(x) đạt cực trị tại hai điểm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{2} = x_{1} + 2$ và $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ . Gọi $S_{1}$ và $S_{2}$ là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số $\frac{S _{1}}{S _{2}}$ bằng

$\frac{3}{4}$
$\frac{5}{8}$
$\frac{3}{8}$
$\frac{3}{5}$

R. Robo.Ctvx31

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Gọi f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d , với a > 0 ⇒ ⇒ f ′ ( x ) = 3 a x 2 + 2 b x + c . Theo giả thiết ta có f ′ ( x 1 ) = f ′ ( x 2 ) = 0 ⇒ f ′ ( x ) = 3 a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = 3 a ( x − x 1 ) ( x − x 1 − 2 ) . ⇒ f ′ ( x ) = 3 a ( x − x 1 ) 2 − 6 a ( x − x 1 ) . ⇒ f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) d x = a ( x − x 1 ) 3 − 3 a ( x − x 1 ) 2 + C Ta có f ( x 1 ) + f ( x 2 ) = 0 ⇒ f ( x 1 ) + f ( x 1 + 2 ) = 0 ⇒ C + 8 a − 12 a + C = 0 ⇒ C = 2 a Do đó f ( x ) = a ( x − x 1 ) 3 − 3 a ( x − x 1 ) 2 + 2 a = a [ ( x − x 1 ) 3 − 3 ( x − x 1 ) 2 + 2 ] f ( x ) = 0 ⇒ [ ( x − x 1 ) 3 − 3 ( x − x 1 ) 2 + 2 ] = 0 ⇔ ⎣ ⎡ x = x 1 + 1 − 3 x = x 1 + 1 x = x 1 + 1 − + 3 Suy ra S 2 = ∫ x 1 x 1 + 1 f ( x ) d x = ∫ x 1 x 1 + 1 [ ( x − x 1 ) 3 − 3 ∗ ( x − x 1 ) 2 + 2 ] d x = ∫ x 1 x 1 + 1 a [ ( x − x i ) 3 − 3 ( x − x 1 ) 2 + 2 ] d ( x − x i ) = a [ 4 ( x − x 1 ) 4 − ( x − x 1 ) 3 + 2 ( x − x 1 ) ] ∣ ∣ x 1 x 1 + 1 = 4 5 a . Mặt khác ta có S 1 + S 2 = ∫ x 1 x 1 + 1 f ( x 1 ) d x = f ( x 1 ) ∫ x 1 x 1 + 1 d x = f ( x 1 ) = 2 a ⇒ S 1 = 2 a − S 2 = 4 3 a . Vậy S 2 s 1 = 5 3

Gọi $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d,$ với a > 0 $\Rightarrow$ $\Rightarrow f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c .$

Theo giả thiết ta có

$f^{'} (x 1) = f^{'} (x 2) = 0 \Rightarrow f^{'} (x) = 3 a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 3 a (x - x_{1}) (x - x_{1} - 2) .$

$\Rightarrow f^{'} (x) = 3 a (x - x_{1})^{2} - 6 a (x - x_{1}) . \Rightarrow f (x) = \int f^{'} (x) d x = a (x - x_{1})^{3} - 3 a (x - x_{1})^{2} + C$

Ta có

$f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0 \Rightarrow f (x_{1}) + f (x_{1} + 2) = 0 \Rightarrow C + 8 a - 12 a + C = 0 \Rightarrow C = 2 a$

Do đó

$f (x) = a (x - x_{1})^{3} - 3 a (x - x_{1})^{2} + 2 a = a [(x - x_{1})^{3} - 3 (x - x_{1})^{2} + 2]$

$f (x) = 0 \Rightarrow [(x - x_{1})^{3} - 3 (x - x_{1})^{2} + 2] = 0 \Leftrightarrow ⎣ ⎡ x = x_{1} + 1 - 3 x = x_{1} + 1 x = x_{1} + 1 - + 3$

Suy ra $S_{2} = \int_{x_{1}}^{x_{1} + 1} f (x) d x = \int_{x_{1}}^{x_{1} + 1} [(x - x_{1})^{3} - 3 * (x - x_{1})^{2} + 2] d x$

$= \int_{x_{1}}^{x_{1} + 1} a [(x - x_{i})^{3} - 3 (x - x_{1})^{2} + 2] d (x - x_{i}) = a [\frac{( x - x _{1} ) ^{4}}{4} - (x - x_{1})^{3} + 2 (x - x_{1})] ∣ ∣_{x_{1}}^{x_{1} + 1} = \frac{5 a}{4} .$

Mặt khác ta có

$S_{1} + S_{2} = \int_{x_{1}}^{x_{1} + 1} f (x_{1}) d x = f (x_{1}) \int_{x_{1}}^{x_{1} + 1} d x = f (x_{1}) = 2 a \Rightarrow S_{1} = 2 a - S_{2} = \frac{3 a}{4} .$

Vậy $\frac{s _{1}}{S _{2}} = \frac{3}{5}$

Câu hỏi tương tự

a/ Ch ử ng minh r ằ ng hai đườ ng th ằ ng D 1 v ả D 2 ch é o nhau. b/ Tinh kho ả ng c á ch gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng D 1 v à D 2 .

Xác nhận câu trả lời

L ậ p ph ươ ng tr ì nh m ặ t ph ẳ ng ch ứ a đườ ng th ẳ ng v à ti ế p x ú c v ớ i m ạ̃ t c ầ u ( S ) x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 6 y + 4 z − 15 = 0 .

Xác nhận câu trả lời

Viet ph ư ong tr ì nh c ủ a m ặ t phăng trong những tr ườ ng h ợ sau: a,điqua c á c dic̉m P(1;-1:2),Q(-3;0;4) . R(1;1;0) b,đi qua M(1;-6;0),N(2;3;1) v à g ớ c to ạ đọ̉ O . Pi qua M(1;3;-7) v à c...

Xác nhận câu trả lời

Cho t ứ di ệ n ABCD:A(1;0;3),B(0;-2;-1),C(4;-1;-2),D(-1;-1;-3) . Vi ế t ph ươ ng tr ì nh m ặ t c ầ u t â m A v à ti ế p x ú c v ớ i m ặ t ph ẳ ng (BCD) .

Xác nhận câu trả lời

Trong kh ô ng gian Oxyz cho m ọặt c ẩ u c ó ph ươ ng tr ì nh x 2 + y 2 + z 2 = 2 ( x + 2 y + 3 z ) 1/ G ọ i A, B, C l ẩ n l ượ t l ả giao đ iể m (kh á c g ó c t ọ̣a độ ) c ủ a mặt cầ u v ới c á c t...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG

Chính sách bảo mật

Điều khoản và điều kiện