Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Hỏi phương trình f ( x f ( x )) − 2 = 0 cóbao nhiêu nghiệm phân biệt?

Giải thích

Chọn D Ta có pt: f ( x f ( x )) − 2 = 0 ⇔ f ( x f ( x )) = 2 ⇔ [ x f ( x ) = 0 x f ( x ) = b ∈ ( 0 ; 2 ) x f ( x ) = a ∈ ( − 4 ; − 2 ) ​ * Xét phương trình: x f ( x ) = 0 ⇔ [ x = 0 f ( x ) = 0 ( 1 ) ​ Ta thấy đồ thị y = f ( x ) cắt trục hoành tại 1 điểm nên phương trình ( 1 ) có 1 nghiệm x = x 2 ​ < − 4 . * Xét phương trình x f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = x b ​ , ( x  = 0 ) (vì x = 0 phương trình vô nghiệm) Đặt g ( x ) = x b ​ ⇒ g ′ ( x ) = x 2 − b ​ < 0 , ∀ x  = 0 . Suy ra g ( x ) = x b ​ nghịch biến trên từng khoảng xác định. Ta dễ thấy TCĐ: x = 0 , TCN: y = 0 . Phác họa đồ thị y = g ( x ) như hình vẽ ta có 2 giao điểm với đồ thị y = f ( x ) , suy ra phương trình x f ( x ) = b có 2 nghiệm phân biệt x = x 3 ​ ; x = x 4 ​ . * Xét phương trình x f ( x ) = a ⇔ f ( x ) = x a ​ , ( x  = 0 ) (vì x = 0 phương trình vô nghiệm) Đặt h ( x ) = x a ​ ⇒ h ′ = x 2 − a ​ > 0 , ∀ x  = 0. Suy ra h ( x ) = x a ​ đồng biến trên từng khoảng xác định. Ta dễ thấy TCĐ: x = 0 , TCN: y = 0 . Phác họa đồ thị y = h ( x ) như hình vẽ ta có 2 giao điểm với đồ thị y = f ( x ) , suy ra phương trình x f ( x ) = a có 2 nghiệm x = x 5 ​ ; x = x 6 ​ . Như vậy f ( x f ( x )) − 2 = 0 có 6 nghiệm phân biệt.