Cho hàm số bậc 4 có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m và m ∈ [ − 2021 ; 2021 ] để phương trình lo g m x 2 f ( x ) ​ + x [ f ( x ) − m x ] = m x 3 − f ( x ) có hai nghiệm dương phân biệt?

Giải thích

Điều kiện: m x 2 f ( x ) ​ > 0 ⇒ { f ( x ) > 0 x  = 0 ​ ⇔ x  ∈ { − 1 ; 0 ; 1 } Xét: ⇔ lo g f ( x ) + lo g ( x + 1 ) + x f ( x ) + f ( x ) = lo g m x 2 + lo g ( x + 1 ) + m x 3 + m x 2 ⇔ lo g [( x + 1 ) f ( x )] + ( x + 1 ) f ( x ) = lo g [ m x 2 ( x + 1 ) ] + m x 2 ( x + 1 ) Điều kiện bổ sung: x + 1 > 0 ⇔ x > − 1 . Xét hàm số g ( t ) = lo g t + t trên ( 0 ; + ∞ ) , khi đó: g ′ ( t ) = t ln 10 1 ​ + 1 > 0 , ∀ t ∈ ( 0 ; + ∞ ) . Suy ra: glà hàm tăng trên ( 0 ; + ∞ ) . Khi đó: ( x + 1 ) f ( x ) = m x 2 ( x + 1 ) ⇔ f ( x ) = m x 2 . Dựa vào đồ thị, để hàm số y=f(x)và y = m x 2 cắt nhau có 2 điểm có hoành độ dương thì m>0. Kết hợp với đề bài: m ∈ Z và m ∈ [ − 2021 ; 2021 ] , ta được 2021 giá trị của mthỏa yêu cầu đề bài.