Cho hàm số đa thức bậc bốn y = f ( x ) ,biết hàm số có ba điểm cực trị x = − 3 , x = 3 , x = 5 . Có tất cảbao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số g ( x ) = f ( e x 3 + 3 x 2 − m ) có đúng 7 điểm cực trị

Giải thích

Đặt f ′ ( x ) = 0 ⇔ ⎣ ⎡ ​ x = − 3 x = 3 x = 5 ​ g ′ ( x ) = ( 3 x 2 + 6 x ) e x 3 + 3 x 2 . f ′ ( e x 3 + 3 x 2 − m ) g ′ ( x ) = 0 ⇔ [ 3 x 2 + 6 x = 0 f ′ ( e x 3 + 3 x 2 − m ) = 0 ​ ⇔ ⎣ ⎡ ​ x = 0 x = − 2 e x 3 + 3 x 2 − m = − 3 e x 3 + 3 x 2 − m = 3 e x 3 + 3 x 2 − m = 5 ​ ⇔ ⎣ ⎡ ​ x = 0 x = − 2 e x 3 + 3 x 2 = m − 3 ( 1 ) e x 3 + 3 x 2 = m + 3 ( 2 ) e x 3 + 3 x 2 = m + 5 ( 3 ) ​ Xét hàm số g ( x ) = e x 3 + 3 x 2 g ′ ( x ) = ( 3 x 2 + 6 x ) . e x 3 + 3 x 2 g ′ ( x ) = 0 ⇔ [ x = 0 x = − 2 ​ Hàm số g(x) có đúng 7 điểm cực trị ⇔ ba phương trình (1);(2);(3)có 5 nghiệm phân biệt Xét các trường hợp sau: TH1: ⎩ ⎨ ⎧ ​ m + 5 ≥ e 4 m − 3 ≤ 1 1 < m + 3 < e 4 ​ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ​ m ≥ e 4 − 5 m ≤ 4 − 2 < m < e 4 − 3 ​ (vô lý) TH2: { 1 < m − 3 < e 4 m + 3 ≥ e 4 ​ ⇔ { 4 < m < e 4 + 3 m ≥ e 4 − 3 ​ ⇔ e 4 − 3 ≤ m < e 4 + 3 ⇔ 51 , 598 ≤ m < 57 , 598 Mà m ∈ Z → m ∈ { 52 ; 53 ; 54 ; 55 ; 56 ; 57 } ⇒ có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán.