Cho hàm số y = − x 3 + 3 x + 2. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để phương trình x 3 − 3 x − 2 = 2 m có ba nghiệm phân biệt.

Giải thích

a) Tập xác định : D = R Sự biến thiên: + Chiều biến thiên : y ′ = − 3 x 2 + 3 , y ′ = 0 ⇔ [ x = − 1 x = 1 ​ Hàm số đồng biến trên khoảng ( − ∞ ; 1 ) , nghịch biến trên mỗi khoảng ( − ∞ ; − 1 ) v a ˋ ( 1 ; + ∞ ) + Cực trị : Hàm số đạt cực đại tai x = 1, y C Đ ​ = 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1, y CT = 0 + Giới hạn : x → ∞ lim ​ y = + ∞ , x → ∞ lim ​ y = − ∞ + Bảng biến thiên : Đồ thị : Ta có : x 3 − 3 x − 2 = 2 m ⇔ − x 3 + 3 x + 2 = 2 m . Đây chính là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d : y = 2m ( đường thẳng nằm ngang). Phương trình này có 3 nghiệm phân biệt khi đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biêt. Dựa vào đồ thị ta thấy d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi 0 < − 2 m < 4 ⇔ − 2 < m < 0. Vậy − 2 < m < 0 là những giá trị cần tìm.