Câu hỏi

Cho hàm số y = 2 x + m mx − 1 a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A ( − 1 , 2 ) . c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 .

Cho hàm số $y = \frac{mx - 1}{2 x + m}$

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua $A (- 1, 2)$ .

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m = 2$ .

T. Nhã

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

TXĐ: D = R \ { 2 − m } a) Với mọi tham số m ta có: y ′ = ( 2 x + m ) 2 m ( 2 x + m ) − 2. ( mx − 1 ) = ( 2 x + m ) 2 m 2 + 2 > 0 ∀ x ∈ D . Vậy hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) Ta có: + Khi x → ( − 2 m ) + : mx − 1 → − 2 m 2 − 1 < 0 ; 2 x + m → 0 + ⇒ x → ( − 2 m ) + lim 2 x + m mx − 1 = − ∞ ⇒ x = 2 − m là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. + Tiệm cận đứng đi qua A ( − 1 , 2 ) ⇔ 2 − m = − 1 ⇔ m = 2. Vậy với m = 2 thì tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A ( − 1 , 2 ) c) Với m = 2 ta được hàm số: y = 2 x + 2 2 x − 1 - TXĐ: D = R \ { − 1 } - Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: Theo kết quả câu a) Hàm số đồng biến trên ( − ∞ ; − 1 ) v a ˋ ( − 1 ; + ∞ ) + Cực trị : Hàm số không có cực trị. + Tiệm cận: x → ( − 1 ) − lim y = + ∞ ; x → ( − 1 ) + lim y = − ∞ Suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là x = -1. Lại có x → ± ∞ lim y = x → ± ∞ lim 2 x + 2 2 x − 1 = x → ± ∞ lim 2 + x 2 2 − x 1 = 1 Suy ra đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1. + Bảng biến thiên: - Đồ thị: + Đồ thị cắt trục hoành tại ( 2 1 ; 0 ) . + Đồ thị cắt trục tung tại ( 0 ; 2 − 1 ) . + Đồ thị nhận I(-1 ; 1) là tâm đối xứng.

TXĐ: $D = R \ {\frac{- m}{2}}$

a) Với mọi tham số m ta có:

$y^{'} = \frac{m ( 2 x + m ) - 2. ( mx - 1 )}{( 2 x + m ) ^{2}} = \frac{m ^{2} + 2}{( 2 x + m ) ^{2}} > 0 \forall x \in D .$

Vậy hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Ta có:

$+ Khi x \to (- \frac{m}{2})^{+} : mx - 1 \to - \frac{m ^{2}}{2} - 1 < 0; 2 x + m \to 0^{+} \Rightarrow x \to (- \frac{m}{2})^{+} lim \frac{mx - 1}{2 x + m} = - \infty$

$\Rightarrow x = \frac{- m}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Tiệm cận đứng đi qua $A (- 1, 2)$

$\Leftrightarrow \frac{- m}{2} = - 1 \Leftrightarrow m = 2.$

Vậy với m = 2 thì tiệm cận đứng của đồ thị đi qua $A (- 1, 2)$

c) Với m = 2 ta được hàm số: $y = \frac{2 x - 1}{2 x + 2}$

- TXĐ: $D = R \ {- 1}$

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: Theo kết quả câu a)

Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1) v \overset{a}{ˋ} (- 1; + \infty)$

+ Cực trị : Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

$x \to (- 1)^{-} lim y = + \infty; x \to (- 1)^{+} lim y = - \infty$

Suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là x = -1.

Lại có

$x \to \pm \infty lim y = x \to \pm \infty lim \frac{2 x - 1}{2 x + 2} = x \to \pm \infty lim \frac{2 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{2}{x}} = 1$

Suy ra đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1.

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

+ Đồ thị cắt trục hoành tại $(\frac{1}{2}; 0)$ .

+ Đồ thị cắt trục tung tại $(0; \frac{- 1}{2})$ .

+ Đồ thị nhận I(-1 ; 1) là tâm đối xứng.

Câu hỏi tương tự

Cho họ đường cong ( C m ) : y = x − 1 x 2 + m x − 1 (m là tham số) Xét đường thẳng ( L m ) : y = m x + 2 . Tìm m sao cho ( C m ) cắt ( L m ) tại hai điểm phân biệt.

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số y= x − 1 x 2 + 2 x có đồ thị (C) a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). b. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) và suy ra đồ thị y= ∣ ∣ x − 1 x 2 + 2 x ∣ ∣ ...

Xác nhận câu trả lời

C h o h a ˋ m s o ^ ˊ : y = x − 1 x 2 + x + 2 K h ả o s a ˊ t s ự bi e ^ ˊ n t hi e ^ n v a ˋ v e ~ đ o ^ ˋ t h ị c ủ a h a ˋ m s o ^ ˊ .

Xác nhận câu trả lời

Chohàm số: y = f ( x ) = x − 1 2 m x 2 − m ( m + 2 ) x + m 2 + 1 Tìm tập hợp các tâm đối xứng của đồ thị.

Xác nhận câu trả lời

K h ả o s a ˊ t s ự bi e ^ ˊ n t hi e ^ n v a ˋ v e ~ đ o ^ ˋ t h ị h a ˋ m s o ^ ˊ : y = x − 1 x 2 − 2 x + 2

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG