Cho hàm số y = x − m x 2 + m x + 1 ​ 1. Nêu bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=1. 2. Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng nối cực đại, cực tiểu của hàm số

Giải thích

Viết lại y = f ( x ) = x − m x 2 + m x + 1 ​ = x + 2 m + x − m 2 m 2 + 1 ​ , y ′ = 1 − ( x − m ) 2 2 m 2 + 1 ​ 1) Khi m=1, hàm số trở thành y = x + 2 + x − 1 3 ​ . a) Tập xác định: R \ { 1 } b) Sựbiến thiên và tiệm cận: * b-1) Chiều biến thiên Ta có y ′ = 1 − ( x − 1 ) 2 3 ​ = ( x − 1 ) 2 x 2 − 2 x − 2 ​ ; y ′ = 0 ⇔ ( x − 1 ) 2 3 ​ = 1 ⇔ x = 1 ± 3 ​ y ′ < 0 nếu [ 1 − 3 ​ < x < 1 1 < x < 1 + 3 ​ ​ , ⋅ y ′ > 0 nếu [ − ∞ < x < 1 − 3 ​ 1 + 3 ​ < x < + ∞ ​ Vậy hàm sốđồng biến trên các khoảng ( − ∞ ; 1 − 3 ​ ) và ( 1 + 3 ​ ; + ∞ ) ; nghịchbiến trên các khoảng ( 1 − 3 ​ ; 1 ) và ( 1 ; 1 + 3 ​ ) . * b-2) Cực trị Tại x = 1 − 3 ​ hàm số đạtt cực đại, y C D ​ = y ( 1 − 3 ​ ) = 3 − 2 3 ​ Tại x = 1 + 3 ​ hàm sốđạt cực tiểu, y CT ​ = y ( 1 + 3 ​ ) = 3 + 2 3 ​ * b-3) Tiệm cận - Ta có x → 1 − lim ​ y = x → 1 − lim ​ ( x + 2 + x − 1 3 ​ ) = − ∞ ; x → 1 + lim ​ y = x → 1 − lim ​ ( x + 2 + x − 1 3 ​ ) = + ∞ nênx=1là đường tiệm cận đứng. x → − ∞ lim ​ y = x → − ∞ lim ​ ( x + 2 + x − 1 3 ​ ) = − ∞ ; x → + ∞ lim ​ y = x → + ∞ lim ​ ( x + 2 + x − 1 3 ​ ) = − ∞ x → − ∞ lim ​ [ y − ( x + 2 )] = x → − ∞ lim ​ x − 1 3 ​ = 0 ; x → + ∞ lim ​ [ y − ( x + 2 )] = x → + ∞ lim ​ x − 1 3 ​ = 0 nên y=x+2là đường tiệm cận xiên c) Bảng biếnthiên d) Đồ thị Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;-1). Đồ thị không cắt trục hoàng. Đồ thị nhận I (1;3) - đó là giao điểm của hai đường tiệm cận - làm tâm đối xứng 2)Viết phương trình đường thẳng nối cựcđại cựctiểu Ta có toạ độ cực trị là nghiệm của hệ : { y = f ( x ) y ′ = 0 ​ ⇔ { y = f ( x ) 1 = ( x − m ) 2 2 m 2 + 1 ​ ​ ⇔ ( ∗ ) { y = x + 2 m + x − m 2 m 2 + 1 ​ ( 1 ) x − m = x − m 2 m 2 + 1 ​ ( 2 ) ​ Thay (2) vào (1) có y = x + 2 m + ( x − m ) ⇔ y = 2 x + m . (3) Toạ độ cực trị nghiệm hệ phương trình (*) suy ra tọađộcực trị cắt nghiệmphương trình(3) nên (3) là phương trình nối cực đại, cực tiểu củahàm số đãcho.