Cho hàm số y = x + m m x − 1 ​ (1) Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc (1).Tiếp tuyến của (1)tại M cắt các đường tiệm cận tại A, B. Tìm m để diện tích tam giác IAB bằng 10 , với I là giao điểm của 2 đường tiệm cận.

Giải thích

Ta có I ( − m ; m ) , gọi M ( a ; a + m ma − 1 ​ ) ∈ ( 1 ) ,ta có phương trình tiếp tuyến của (1) tại điểm M là: y = ( a + m ) 2 m 2 + 1 ​ ( x − 1 ) + a + m ma − 1 ​ Phương trình tiệm cận đứng x + m = 0 phương trình tiệm cận ngang là y = m Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng, B là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang. Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ { y = ( a + m ) 2 m 2 + 1 ​ ( x − 1 ) + a + m ma − 1 ​ x + m = 0 ​ ⇔ { x = − m y = a + m − m 2 + am − 2 ​ ​ . Suy ra A ( − m ; a + m − m 2 + am − 2 ​ ) , I A = ∣ ∣ ​ a + m 2 ( m 2 + 1 ) ​ ∣ ∣ ​ Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ { y = ( a + m ) 2 m 2 + 1 ​ ( x − 1 ) + a + m ma − 1 ​ y = m ​ ⇔ { x = m + 2 a y = m ​ Suy ra B ( m + 2 a ; m ) , I B = 2 ∣ m + a ∣ Tam giác IAB vuông tại I nên S I A B ​ = 2 1 ​ . I A . I B = 2 ∣ ∣ ​ m 2 + 1 ∣ ∣ ​ = 10 ⇔ m = ± 2 Vậy m = ± 2 là giá trị cần tìm.