Câu hỏi

Cho f(x) là hàm số xác định và liên tục trên [0,1] và ∣ f ( x ) ∣ ≤ 1∀ x ∈ [ 0 , 1 ] Chứng minh rằng ∫ 0 1 1 − f 2 ( x ) d x ≤ 1 − ( ∫ 0 1 f ( x ) d x ) 2

Cho f(x) là hàm số xác định và liên tục trên [0,1] và $∣ f (x) ∣ \leq 1\forall x \in [0, 1]$

Chứng minh rằng $\int_{0}^{1} 1 - f^{2} (x) d x \leq 1 - (\int_{0}^{1} f (x) d x)^{2}$

R. Robo.Ctvx9

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Sử dụng bất đẳng thức CBS cho hai hàm số F ( x ) = 1 − f 2 ( x ) và g ( x ) ≡ 1 với x ∈ [ 0 , 1 ] . Ta có ( ∫ 0 1 1 − f 2 ( x ) d x ) 2 ≤ ∫ 0 1 [ 1 − f 2 ( x ) ] d x ∫ 0 1 d x ⇒ ∫ 0 1 1 − f 2 ( x ) d x ≤ 1 − ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x Sử dụng bất đẳng thức CBS cho hai hàm số f(x) và g(x) ta có ( ∫ 0 1 f ( x ) d x ) 2 ≤ ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x ∫ 0 1 d x ⇒ 1 − ( ∫ 0 1 f ( x ) d x ) 2 ≥ 1 − ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x ( 2 ) Từ (1) và (2) suy ra ∫ 0 1 1 − f 2 ( x ) d x ≤ 1 − ( ∫ 0 1 f ( x ) d x ) 2 (đpcm)

Sử dụng bất đẳng thức CBS cho hai hàm số $F (x) = 1 - f^{2} (x)$ và $g (x) \equiv 1$ với $x \in [0, 1]$ . Ta có

$(\int_{0}^{1} 1 - f^{2} (x) d x)^{2} \leq \int_{0}^{1} [1 - f^{2} (x)] d x \int_{0}^{1} d x \Rightarrow \int_{0}^{1} 1 - f^{2} (x) d x \leq 1 - \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x$

Sử dụng bất đẳng thức CBS cho hai hàm số f(x) và g(x) ta có

$(\int_{0}^{1} f (x) d x)^{2} \leq \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x \int_{0}^{1} d x \Rightarrow 1 - (\int_{0}^{1} f (x) d x)^{2} \geq 1 - \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\int_{0}^{1} 1 - f^{2} (x) d x \leq 1 - (\int_{0}^{1} f (x) d x)^{2}$ (đpcm)

Câu hỏi tương tự

Chứng minh rằng ln ( n + 1 ) < 1 + 2 1 + ... + n 1 ∀ n ∈ N ∗

Xác nhận câu trả lời

Chứng minh rằng 6 π < ∫ 0 1 4 − x 2 − x 3 d x < 8 π 2

Xác nhận câu trả lời

Cho hai hàm số f(x),g(x) liên tục và đơn điệu trên [a,b] 1. Chứng minh rằng: Nếu f(x),g(x) là hai hàm cùng đồng biến hoặc hai hàm cùng nghịch biến thì ta có bất đẳng thức b − a 1 ∫ a b f ( x...

Xác nhận câu trả lời

Cho f(x) là hàm số liên tục cùng đạo hàm của nó trên [a,b] và f(a)=0 Đặt M = x ∈ [ a , b ] M a x ∣ f ( x ) ∣ . Chứng minh rằng M 2 ≤ ( b − a ) ∫ a b f ′2 ( x ) d x

Xác nhận câu trả lời

Gỉa sử a 1 , a 2 , ... , a n là các số thực dương thỏa mãn a 1 a 2 ... a n = 1 và m ≥ n Chứng minh rằng a 1 m + a 2 m + ... + a n m + mn ≥ ( m + 1 ) ( a 1 1 + a 2 1 + ... ...

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG