Câu hỏi

Cho f(x) là hàm số liên tục cùng đạo hàm của nó trên [a,b] và f(a)=0 Đặt M = x ∈ [ a , b ] M a x ∣ f ( x ) ∣ . Chứng minh rằng M 2 ≤ ( b − a ) ∫ a b f ′2 ( x ) d x

Cho f(x) là hàm số liên tục cùng đạo hàm của nó trên [a,b] và f(a)=0

Đặt $M = x \in [a, b] M a x ∣ f (x) ∣$ . Chứng minh rằng $M^{2} \leq (b - a) \int_{a}^{b} f^{'2} (x) d x$

R. Robo.Ctvx9

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Giả sử x 0 là điểm thỏa mãn đẳng thức ∣ f ( x 0 ) ∣ = x ∈ [ a , b ] M a x ∣ f ( x ) ∣ = M Sử dụng bất đẳng thức CBS với hàm số f'(x) và 1 ta có ( ∫ a x 0 f ′ ( x ) d x ) 2 ≤ ∫ a x 0 f ′2 ( x ) d x ∫ a x 0 1. d x = ( x 0 − a ) ∫ a x 0 f ′2 ( x ) d x ( 1 ) Mà = f ( x 0 ) − 0 = f ( x 0 ) ( 2 ) Từ (1) và (2) suy ra M = ∣ f ( x 0 ) ∣ = ∣ ∣ ∫ a x 0 f ′ ( x ) d x ∣ ∣ ≤ x 0 − a ∫ a x 0 f ′2 ( x ) d x ≤ x 0 − a ∫ a b f ′2 ( x ) d x ≤ b − a ∫ a b f ′2 ( x ) d x ⇒ M 2 ≤ ( b − a ) ∫ a b f ′2 ( x ) d x

Giả sử x₀ là điểm thỏa mãn đẳng thức $∣ f (x_{0}) ∣ = x \in [a, b] M a x ∣ f (x) ∣ = M$

Sử dụng bất đẳng thức CBS với hàm số f'(x) và 1 ta có

$(\int_{a}^{x_{0}} f^{'} (x) d x)^{2} \leq \int_{a}^{x_{0}} f^{'2} (x) d x \int_{a}^{x_{0}} 1. d x = (x_{0} - a) \int_{a}^{x_{0}} f^{'2} (x) d x (1)$

Mà $\int_a^{x_0}f'\left(x\right)\operatorname dx=f\left(x\right)\mbox{\large$\vert$}\nolimits_a^{x_0}=f\left(x_0\right)-f\left(a\right)$

$= f (x_{0}) - 0 = f (x_{0}) (2)$

Từ (1) và (2) suy ra

$M = ∣ f (x_{0}) ∣ = ∣ ∣ \int_{a}^{x_{0}} f^{'} (x) d x ∣ ∣ \leq x_{0} - a \int_{a}^{x_{0}} f^{'2} (x) d x \leq x_{0} - a \int_{a}^{b} f^{'2} (x) d x \leq b - a \int_{a}^{b} f^{'2} (x) d x \Rightarrow M^{2} \leq (b - a) \int_{a}^{b} f^{'2} (x) d x$

Câu hỏi tương tự

Chứng minh rằng a − b e a − e b < 2 e a + e b ∀ { a  = b a , b ∈ R

Xác nhận câu trả lời

Cho p,q>1 thỏa mãn p 1 + q 1 = 1 Chứng minh ab ≤ p a p + q b q ∀ a , b > 0

Xác nhận câu trả lời

Cho p>1 và f,g là hàm số liên tục trên [a;b]. Chứng minh rằng ( ∫ a b ∣ f ( x ) + g ( x ) ∣ p d x ) p 1 ≤ ( ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ p d x ) p 1 + ( ∫ a b ∣ g ( x ) ∣ p d x ) p 1

Xác nhận câu trả lời

Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên [a,b]. Gọi π là một phân hoạch tùy ý của đoạn [a,b] bởi các điểm chia x 1 ,x 2 ,...,x n ( a = x n < ... < x n = b ) . Chứng minh rằng 1. Nếu f(x) đ...

Xác nhận câu trả lời

Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng ∣ ∣ ∫ 0 π e x 2 sin n x d x ∣ ∣ ≤ n 2 e π 2

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG