Câu hỏi

Cho { a , b , c ≥ 0 a + b + c = 3 . Chứng minh a + b + c ≥ ab + bc + ca ( 1 )

Cho ${a, b, c \geq 0 a + b + c = 3$ . Chứng minh $a + b + c \geq ab + bc + ca (1)$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

( 1 ) ⇔ ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 2 ( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) 2 ( 2 ) Sử dụng bất đẳng thức AM - AG: VT ( 2 ) = cyc ∑ ( a 2 + a + a ) ≥ cyc ∑ 3. 3 a 2 . a . a = 3 ( a + b + c ) = ( a + b + c ) 2 ⇒ ( đ pcm )

$(1) \Leftrightarrow (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 2 (a + b + c) \geq (a + b + c)^{2} (2)$

Sử dụng bất đẳng thức AM - AG:

$VT (2) = cyc \sum (a^{2} + a + a) \geq cyc \sum 3. 3 a^{2} . a . a = 3 (a + b + c) = (a + b + c)^{2} \Rightarrow (đ pcm)$

Câu hỏi tương tự

Cho { a , b , c > 0 a + b + c ≤ 1 . Chứng minh a 2 + 2 bc 1 + b 2 + 2 ca 1 + c 2 + 2 ab 1 ≥ 9

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 a + b + c = 3 . Chứng minh 2 ( ab + bc + ca ) + ab 1 + bc 1 + ca 1 ≥ 9 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho các số a, b, c, d > 0. Chứng minh: ( a 1 + b 1 + c 1 + d 1 ) ( a + b 1 + b + c 1 + c + d 1 + d + a 1 ) ≥ ≥ 16 Max { 1 + abcd 1 ; ac + bd 1 } ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho các số thực a, b, c > 0. Chứng minh: 4 2 a 4 + 3 b 4 + 4 2 b 4 + 3 c 4 + 4 2 c 4 + 3 a 4 ≥ ≥ 12 5 1 ( 3 2 a 3 + 3 b 3 + 3 2 b 3 + 3 c 3 + 3 2 c 3 + 3 a 3 )

Xác nhận câu trả lời

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a + 3 b + 2 c ab + b + 3 c + 2 a bc + c + 3 a + 2 b ca ≤ 6 a + b + c

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG