Câu hỏi

Cho 3 − 1 ≤ a , b , c ∈ R . Chứng minh rằng 1 + 3 b + c 2 1 + a 2 + 1 + 3 c + a 2 1 + b 2 + 1 + 3 a + b 2 1 + c 2 ⩾ 5 6

Cho $\frac{- 1}{3} \leq a, b, c \in R$ . Chứng minh rằng $\frac{1 + a ^{2}}{1 + 3 b + c ^{2}} + \frac{1 + b ^{2}}{1 + 3 c + a ^{2}} + \frac{1 + c ^{2}}{1 + 3 a + b ^{2}} ⩾ \frac{6}{5}$

T. ThuỳTrangNguyễn

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Bằng phương pháp biến đổi tương đương bạn đọc dễ dàng chứng minh 3 bất đẳng thức phụ sau 3 a ⩽ 2 3 ( a 2 + 1 ) ; 3 b ⩽ 2 3 ( b 2 + 1 ) ; 3 c ⩽ 2 3 ( c 2 + 1 ) Áp dụng các bất đẳng thức phụ trên ta có ∑ 1 + 3 b + c 2 1 + a 2 ⩾ 2 ∑ 2 ( 1 + c 2 ) + 3 ( 1 + b 2 ) 1 + a 2 Đặt x = 1 + a 2 ; y = 1 + b 2 ; z = 1 + c 2 bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 z + 3 y x + 2 x + 3 z y + 2 y + 3 x z ⩾ 5 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có ∑ 2 z + 3 y x = ∑ 2 z x + 3 x y x 2 ⩾ 5 ( x y + yz + x z ) ( x + y + z ) 2 ⩾ 5 ( x y + yz + x z ) 3 ( x y + yz + x z ) = 5 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z kết hợp với bất đẳng thức phụ ta được dấu bằng khi a = b = c = 1.

Bằng phương pháp biến đổi tương đương bạn đọc dễ dàng chứng minh 3 bất đẳng thức phụ sau

$3 a ⩽ \frac{3 ( a ^{2} + 1 )}{2}; 3 b ⩽ \frac{3 ( b ^{2} + 1 )}{2}; 3 c ⩽ \frac{3 ( c ^{2} + 1 )}{2}$

Áp dụng các bất đẳng thức phụ trên ta có

$\sum \frac{1 + a ^{2}}{1 + 3 b + c ^{2}} ⩾ 2 \sum \frac{1 + a ^{2}}{2 ( 1 + c ^{2} ) + 3 ( 1 + b ^{2} )}$

Đặt

$x = 1 + a^{2}; y = 1 + b^{2}; z = 1 + c^{2}$

bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

$\frac{x}{2 z + 3 y} + \frac{y}{2 x + 3 z} + \frac{z}{2 y + 3 x} ⩾ \frac{3}{5}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có

$\sum \frac{x}{2 z + 3 y} = \sum \frac{x ^{2}}{2 z x + 3 x y} ⩾ \frac{( x + y + z ) ^{2}}{5 ( x y + yz + x z )} ⩾ \frac{3 ( x y + yz + x z )}{5 ( x y + yz + x z )} = \frac{3}{5}$