Câu hỏi

Cho 0 ≤ a , b , c , d ≤ 1 . Chứng minh rằng : b c d + 1 a + c d a + 1 b + d ab + 1 c + ab c + 1 d ≤ 3

Cho $0 \leq a, b, c, d \leq 1$ . Chứng minh rằng :
$\frac{a}{b c d + 1} + \frac{b}{c d a + 1} + \frac{c}{d ab + 1} + \frac{d}{ab c + 1} \leq 3$

R. Robo.Ctvx31

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Giải thích

Ta có: (1 - a)(1 - b)+(1 - c)(1 - d)+(1 - ab)(1 - cd) ≥ 0 ⇒ 1 - (a + b) + ab + 1 - (c + d) + cd + 1 - (ab + cd)+abcd ≥ 0 ⇒ 3 + abcd ≥ a + b + c + d Suy ra b c d + 1 a + c d a + 1 b + d ab + 1 c + ab c + 1 d ≤ ≤ ab c d + 1 a + ab c d + 1 b + ab c d + 1 c + ab c d + 1 d ( d o ( 1 )) ≤ ab c d + 1 3 + ab c d ≤ 3.

Ta có: (1 - a)(1 - b)+(1 - c)(1 - d)+(1 - ab)(1 - cd) $\geq$ 0
$\Rightarrow$ 1 - (a + b) + ab + 1 - (c + d) + cd + 1 - (ab + cd)+abcd $\geq$ 0
$\Rightarrow$ 3 + abcd $\geq$ a + b + c + d
Suy ra $\frac{a}{b c d + 1} + \frac{b}{c d a + 1} + \frac{c}{d ab + 1} + \frac{d}{ab c + 1} \leq \leq \frac{a}{ab c d + 1} + \frac{b}{ab c d + 1} + \frac{c}{ab c d + 1} + \frac{d}{ab c d + 1} (d o (1)) \leq \frac{3 + ab c d}{ab c d + 1} \leq 3.$