Câu hỏi

Cho { x , y ≥ 0 x 3 + y 3 = 1 . Chứng minh: x + 2 y ≤ ( 1 + 2 5 2 ) 6 5

Cho ${x, y \geq 0 x^{3} + y^{3} = 1$ . Chứng minh: $x + 2 y \leq (1 + 252)^{\frac{5}{6}}$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có: $x^{3} + y^{3} = 1 \Leftrightarrow y = 3 1 - x^{3}$

Xét $f (x) = x + 2 y = x + 2 6 1 - x^{3}$ với $x \in [0, 1] \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{2 x} = \frac{x ^{2}}{6 ( 1 - x ^{3} ) ^{5}}$

f '(x) = 0 ⇔ x₀ = $\frac{1}{1 + 2 5 2} \Rightarrow$ Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra:

$f (x) \leq f (x_{0}) = M = (252 + 1)^{\frac{5}{6}} \forall x \in [0, 1]$

Chứng minh rằng: a 2 + bc a ( b + c ) + b 2 + ca b ( c + a ) + c 2 + ab c ( a + b ) ≥ 2 , ∀ a , b , c > 0

Cho a 1 , a 2 ,...a n > 0. Chứng minh: S = a 1 1 + a 1 + a 2 2 + ... + a 1 + a 2 + ... + a n n < < 4 ( a 1 1 + a 2 1 + ... + a n 1 )

Cho { a , b , c ≥ 0 a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất cảu biểu thức S = 4 ab + 8 bc + 6 ca

Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: b + c − a a + c + a − b b + a + b − c c ≥ a + b + c

Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn ab + bc + ca + 6abc = 9. Tìm hằng số k tốt nhất sao cho: a + b + c + kabc ≥ k + 3 (1) đúng ∀ a , b , c ≥ 0