Câu hỏi

Cho { a , b , c ≥ 0 a + b + c = 3 . Chứng minh: c 2 + a + b 1 + a 2 + b + c 1 + b 2 + a + c 1 ≤ 1 ( 1 )

Cho ${a, b, c \geq 0 a + b + c = 3$ . Chứng minh: $\frac{1}{c ^{2} + a + b} + \frac{1}{a ^{2} + b + c} + \frac{1}{b ^{2} + a + c} \leq 1 (1)$

R. Roboctvx57

Giáo viên

Xác nhận câu trả lời

Giải thích

Ta có: c 2 + a + b 1 − 3 1 = c 2 − c + 3 1 − 3 1 = 3 ( c 2 − c + 3 ) c ( 1 − c ) . Tương tự và suy ra: Bất đẳng thức (1)⇔ a 2 − a + 3 a ( a − 1 ) + b 2 − b + 3 b ( b − 1 ) + c 2 − c + 3 c ( c − 1 ) ≥ 0 ⇔ a − 1 + a 3 a − 1 + b − 1 + b 3 b − 1 + c − 1 + c 3 c − 1 ≥ 0 Giả sử a ≥ b ≥ c thì a − 1 ≥ b − 1 ≥ c − 1 Từ a + b + c = 3 suy ra ab, bc, ca ≤ 3 ⇒ a − 1 + a 3 a − 1 ≥ b − 1 + b 3 b − 1 ≥ c − 1 + c 3 c − 1 Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev: a − 1 + a 3 a − 1 + b − 1 + b 3 b − 1 + c − 1 + c 3 c − 1 ≥ ( a − 1 + b − 1 + c − 1 ) . . ⎝ ⎛ a − 1 + a 3 a − 1 + b − 1 + b 3 b − 1 + c − 1 + c 3 c − 1 ⎠ ⎞ = 0 Dấu bằng xảy ra⇔ a=b=c=1

Ta có: $\frac{1}{c ^{2} + a + b} - \frac{1}{3} = \frac{1}{c ^{2} - c + 3} - \frac{1}{3} = \frac{c ( 1 - c )}{3 ( c ^{2} - c + 3 )}$ . Tương tự và suy ra:

Bất đẳng thức (1) ⇔

$\frac{a ( a - 1 )}{a ^{2} - a + 3} + \frac{b ( b - 1 )}{b ^{2} - b + 3} + \frac{c ( c - 1 )}{c ^{2} - c + 3} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{a - 1}{a - 1 + \frac{3}{a}} + \frac{b - 1}{b - 1 + \frac{3}{b}} + \frac{c - 1}{c - 1 + \frac{3}{c}} \geq 0$

Giả sử $a \geq b \geq c$ thì $a - 1 \geq b - 1 \geq c - 1$

Từ a + b + c = 3 suy ra ab, bc, ca $\leq$ 3 $\Rightarrow \frac{a - 1}{a - 1 + \frac{3}{a}} \geq \frac{b - 1}{b - 1 + \frac{3}{b}} \geq \frac{c - 1}{c - 1 + \frac{3}{c}}$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev:

$\frac{a - 1}{a - 1 + \frac{3}{a}} + \frac{b - 1}{b - 1 + \frac{3}{b}} + \frac{c - 1}{c - 1 + \frac{3}{c}} \geq (a - 1 + b - 1 + c - 1) . . ⎝ ⎛ \frac{a - 1}{a - 1 + \frac{3}{a}} + \frac{b - 1}{b - 1 + \frac{3}{b}} + \frac{c - 1}{c - 1 + \frac{3}{c}} ⎠ ⎞ = 0$

Dấu bằng xảy ra ⇔ a=b=c=1

Câu hỏi tương tự

Chứng minh rằng nếu a, b, c ≥ 0, thì: S = b 2 + 4 1 bc + c 2 a + c 2 + 4 1 ca + ca 2 b + + a 2 + 4 1 ab + b 2 a ≥ 2

Xác nhận câu trả lời

Cho { a , b , c > 0 ab + bc + ca = 3 . Chứng minh 2 ( a + b + c ) + ( a + b + c ) ≥ 9 ( 1 )

Xác nhận câu trả lời

Cho △ ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c; độ dài 3 đường phân giác trong tương ứng với các cạnh a, b, c là l a , l b , l c . Chứng minh: a l a + b l b + c l c ≥ b l a + b l b + a l...

Xác nhận câu trả lời

Cho các số dương a, b, c chứng minh: 2 a 2 − ab + 2 b 2 a 3 + 2 b 2 − bc + 2 c 2 b 3 + 2 c 2 − ca + 2 a 2 c 3 ≥ ≥ 3 a + b + c

Xác nhận câu trả lời

Cho tam giác ABC. Chứng minh đẳng thức sau: T = sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 2 3

Xác nhận câu trả lời

THÔNG TIN

DỊCH VỤ

TẢI MIỄN PHÍ ỨNG DỤNG