Cho { a , b , c ≥ 0 a + b + c = 1 ​ .Chứng minh: a + b 2 ​ + b + c 2 ​ + c + a 2 ​ < 5 11 ​

Giải thích

Sử dụng bất đẳng thức CBS: ( cyc ∑ ​ a + b 2 ​ ) 2 = ( cyc ∑ ​ 4 a + 4 b + c ​ . 4 a + 4 b + c a + b 2 ​ ​ ) 2 ≤ ( cyc ∑ ​ 4 a + 4 b + c ) ( cyc ∑ ​ 4 a + 4 b + c a + b 2 ​ ) = 9 cyc ∑ ​ 4 a + 4 b + c a + b 2 ​ = 9 cyc ∑ ​ 4 a + 4 b + c a ( a + b + c ) + b 2 ​ Ta chỉcần chứng minh: 9 cyc ∑ ​ 4 a + 4 b + c a ( a + b + c ) + b 2 ​ ≤ 25 121 ​ ( a + b + c ) Ta có: VP - VT = = 25 ( 4 a + 4 b + c ) ( 4 b + 4 c + a ) ( 4 c + 4 a + b ) 163 cyc ∑ ​ a 4 + 3003 ∑ cyc ​ a 2 b 2 + 1975 ∑ cyc ​ ab 3 ​ + + 25 ( 4 a + 4 b + c ) ( 4 b + 4 c + a ) ( 4 c + 4 a + b ) − 725 ∑ cyc ​ a 3 b + 10920 ∑ cyc ​ a 2 bc ​ = 25 ( 4 a + 4 b + c ) ( 4 b + 4 c + a ) ( 4 c + 4 a + b ) 163 ( ∑ cyc ​ a 4 + 11 ∑ cyc ​ a 2 b 2 − 6 ∑ cyc ​ a 3 b − 6 ∑ cyc ​ a 2 bc ) ​ + 25 ( 4 a + 4 b + c ) ( 4 b + 4 c + a ) ( 4 c + 4 a + b ) A ​ Trong đó: A = 1210 cyc ∑ ​ a 2 b 2 + 1975 cyc ∑ ​ ab 3 + 253 cyc ∑ ​ a 3 b + + 11898 cyc ∑ ​ a 2 bc ≥ 0 Ta chứng minh: cyc ∑ ​ a 4 + 11 cyc ∑ ​ a 2 b 2 − 6 cyc ∑ ​ a 3 b − 6 cyc ∑ ​ a 2 bc ≥ 0 ⇔ ( cyc ∑ ​ a 4 − cyc ∑ ​ a 2 b 2 ) + 12 ( cyc ∑ ​ a 2 b 2 − cyc ∑ ​ a 2 bc ) − − 6 ( cyc ∑ ​ a 3 b − cyc ∑ ​ a 2 bc ) ≥ 0 Ta có: cyc ∑ ​ a 4 − cyc ∑ ​ a 2 b 2 = 2 1 ​ cyc ∑ ​ ( a 2 − b 2 ) 2 3 ( cyc ∑ ​ a 3 b − cyc ∑ ​ a 2 bc ) = 3 ( cyc ∑ ​ b 3 c − cyc ∑ ​ a 2 bc ) = − 3 cyc ∑ ​ bc ( a 2 − b 2 ) = − 3 cyc ∑ ​ bc ( a 2 − b 2 ) + cyc ∑ ​ ( ab + bc + ca ) ( a 2 − b 2 ) = cyc ∑ ​ ( a 2 − b 2 ) ( ab + bc + ca ) 6 ( cyc ∑ ​ a 2 b 2 − cyc ∑ ​ a 2 bc ) = cyc ∑ ​ ( ab + ac − 2 bc ) 2 Bất đẳng thức tương đương 2 1 ​ cyc ∑ ​ ( a 2 − b 2 ) 2 + 2 cyc ∑ ​ ( ab + ac − 2 bc ) 2 − − 2 cyc ∑ ​ ( a 2 − b 2 ) ( ab + ac − 2 bc ) ≥ 0 ⇔ 2 1 ​ cyc ∑ ​ ( a 2 − b 2 − 2 ab − 2 ac + 4 bc ) 2 ≥ 0 ( đ pcm )