Cho các số thực x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cho a, b là các số nguyên dương. Chứng minh rằng ab ( ab ) ab − 1 + a a − 1 ⋅ b b ​ a ab a − 1 ​ + 1 ⋅ b a 1 ​ ​ + ab ( ab ) ab − 1 + a a ⋅ b b − 1 ​ b ab b − 1 ​ + 1 ⋅ a b 1 ​ ​ ⩾ 1

Cho { x , y , z ≥ 0 x + y + z = 3 ​ và số thực k ≥ 1 . Chứng minh: x + k 2 − 1 ​ + y + k 2 − 1 ​ + z + k 2 − 1 ​ ≥ k ( xy + yz + zx ) (1)

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh: 3 ( a 4 + b 4 + c 4 ) + a 2 + b 2 + c 2 + 6 ≥ 6 ( a 3 + b 3 + c 3 ) ( 1 )

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a 2 + 7 ab + b 2 a 2 ​ ​ + b 2 + 7 bc + c 2 b 2 ​ ​ + c 2 + 7 ca + a 2 c 2 ​ ​ ≥ 1 (1)

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của T = ( a − 1 ) 3 + ( b − 1 ) 3 + ( c − 1 ) 3